[A,65] Sejam
e
conjuntos numéricos não vazios. Prove que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos dois conjuntos numéricos não vazios,
e
, e sabemos que
está contido em
(ou seja, todo elemento de
também está em
). Precisamos provar duas coisas usando esse fato:
- O ínfimo de
(menor limite de ) é maior ou igual ao ínfimo de . - O supremo de
(maior limite de ) é menor ou igual ao supremo de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites inferiores e superiores de conjuntos, além de propriedades de conjuntos.
Passo 2
Vamos começar provando que
.
Definição de ínfimo: O ínfimo de um conjunto é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto.
Como
, todo elemento de
também está em
. Portanto, qualquer número que seja um ínfimo de
também é um número que está abaixo de todos os elementos de
.
Isso significa que o maior número que está abaixo de todos os elementos de
(ou seja,
) não pode ser menor que o ínfimo de
. Assim,
.
Passo 3
Agora, vamos provar que
.
Definição de supremo: O supremo de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto.
Novamente, como
, todo elemento de
está em
. Portanto, qualquer número que seja um supremo de
também é um número que está acima de todos os elementos de
.
Isso significa que o menor número que está acima de todos os elementos de
(ou seja,
) não pode ser maior que o supremo de
. Assim,
.
Resposta
Portanto, se
, então
e
.