[A,65] Sejam e conjuntos numéricos não vazios. Prove que e .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos dois conjuntos numéricos não vazios, e , e sabemos que está contido em (ou seja, todo elemento de também está em ). Precisamos provar duas coisas usando esse fato:
O ínfimo de (menor limite de ) é maior ou igual ao ínfimo de .
O supremo de (maior limite de ) é menor ou igual ao supremo de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites inferiores e superiores de conjuntos, além de propriedades de conjuntos.
Passo 2
Vamos começar provando que .
Definição de ínfimo: O ínfimo de um conjunto é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto.
Como , todo elemento de também está em . Portanto, qualquer número que seja um ínfimo de também é um número que está abaixo de todos os elementos de .
Isso significa que o maior número que está abaixo de todos os elementos de (ou seja, ) não pode ser menor que o ínfimo de . Assim, .
Passo 3
Agora, vamos provar que .
Definição de supremo: O supremo de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto.
Novamente, como , todo elemento de está em . Portanto, qualquer número que seja um supremo de também é um número que está acima de todos os elementos de .
Isso significa que o menor número que está acima de todos os elementos de (ou seja, ) não pode ser maior que o supremo de . Assim, .