Dado o sistema
c x+2 y-w=2 x+2 z-w=2 x+2 y+2 z-w=4 3 x+4 y+4 z-3 w=8
Verifique que toda solução obtida em b) é a soma de uma solução encontrada em c) com a solução particular que você encontrou em a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! A gente tem um sistema com quatro equações e quatro incógnitas: , , e . O conteúdo que vamos usar aqui é de álgebra linear, especificamente sobre como resolver sistemas de equações lineares usando métodos como substituição ou eliminação. Para isso, vamos precisar manipular as equações para encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar o sistema de equações que temos:
x + 2y - w = 2 (1) x + 2z - w = 2 (2) x + 2y + 2z - w = 4 (3) 3x + 4y + 4z - 3w = 8 (4)

Passo 3

Vamos começar subtraindo a equação (1) da equação (2). Isso nos ajudará a eliminar algumas variáveis e simplificar o sistema.
(x + 2z - w) - (x + 2y - w) = 2 - 2 0 + 2z - 2y = 0 2z - 2y = 0 z = y
Então descobrimos que .

Passo 4

Agora que sabemos que x + 2y - w = 2 (1) , podemos substituir x + 2y + 2y - w = 4 x + 4y - w = 4 (3') por nas equações (1) e (3) para facilitar.
Substituindo na equação (1):
A equação (3) fica:

Passo 5

Vamos subtrair a equação (1) da equação (3’) para eliminar (x + 4y - w) - (x + 2y - w) = 4 - 2 0 + 2y + 0 = 2 2y = 2 y = 1 e :
Então, encontramos que .

Passo 6

Como x + 2(1) - w = 2 x + 2 - w = 2 x - w = 0 x = w , então .
Agora, vamos substituir na equação (1) para encontrar e .

Passo 7

Agora, vamos usar a equação (4) para encontrar o valor de 3x + 4y + 4z - 3w = 8 :
3w + 4(1) + 4(1) - 3w = 8 3w + 4 + 4 - 3w = 8 8 = 8
Sabemos que , e . Substituindo:
Isso mostra que a equação é verdadeira para qualquer valor de , desde que , e .

Passo 8

Então, podemos expressar as soluções do sistema da seguinte forma:
x = w y = 1 z = 1 w é um número real qualquer éú
Isso significa que pode ser qualquer número real, e os outros valores dependem de .

Resposta

A solução geral do sistema é:
x = w y = 1 z = 1 w in R
Ou seja, , , são determinados em função de , que pode ser qualquer número real.

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