Dado o sistema
Encontre uma solução dele sem resolvê-lo. (Atribua valores para e w.)

Passo 1

Vamos lá! O exercício apresenta um sistema de 4 equações com 4 variáveis ( , , , ). Nossa missão é encontrar valores para essas variáveis que resolvam todas as equações ao mesmo tempo, mas sem resolver o sistema de forma tradicional. Para isso, vamos usar conhecimentos de Sistemas Lineares e substituição de valores.

Passo 2

Primeiro, vamos observar as duas primeiras equações do sistema:
çãçã
Percebe-se que as duas equações são bem semelhantes. Vamos subtrair a Equação 2 da Equação 1 para simplificar.

Passo 3

Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
Isso significa que e têm o mesmo valor.

Passo 4

Agora que sabemos que , vamos substituir esse valor na terceira equação do sistema:
çã
Substituindo por :
çã

Passo 5

Comparemos a Equação 3 simplificada com a Equação 1:
çãçã
Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 3 simplificada:
Então, e, como vimos antes, , logo .

Passo 6

Com e , vamos substituir esses valores na Equação 1 para encontrar em função de :
Agora, sabemos que é igual a .

Passo 7

Por fim, vamos substituir , e na quarta equação do sistema:
çã
Substituindo os valores:
Essa equação confirma que os valores escolhidos satisfazem todas as equações do sistema, independentemente do valor de .

Resposta

Uma solução para o sistema é:
Observação: Como a última equação resultou em uma identidade verdadeira ( ), isso significa que existem infinitas soluções baseadas no valor que você escolher para . No exemplo acima, escolhi , mas você pode atribuir qualquer outro valor a , e ajustar de acordo ( ), mantendo e .

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Dado um triângulo , prove que as coordenadas do seu baricentro são dadas por .
Dados os vetores , calcular:
Dado o sistema
Verifique que toda solução obtida em b) é a soma de uma solução encontrada em c) com a solução particular que você encontrou em a).
Se e são três vetores em , encontre escalares e tais que .
Prove que o item a) não tem solução se for substituído por . Por que isto ocorre?