Dado o sistema
c x+2 y-w=2 x+2 z-w=2 x+2 y+2 z-w=4 3 x+4 y+4 z-3 w=8
Encontre uma solução dele sem resolvê-lo. (Atribua valores para x, y, z e w.)

Passo 1

Vamos lá! O exercício apresenta um sistema de 4 equações com 4 variáveis ( x, y, z, w). Nossa missão é encontrar valores para essas variáveis que resolvam todas as equações ao mesmo tempo, mas sem resolver o sistema de forma tradicional. Para isso, vamos usar conhecimentos de Sistemas Lineares e substituição de valores.

Passo 2

Primeiro, vamos observar as duas primeiras equações do sistema:
x + 2y - w = 2 (Equação 1) x + 2z - w = 2 (Equação 2) çãçã
Percebe-se que as duas equações são bem semelhantes. Vamos subtrair a Equação 2 da Equação 1 para simplificar.

Passo 3

Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
(x + 2y - w) - (x + 2z - w) = 2 - 2 2y - 2z = 0 Rightarrow y = z
Isso significa que y e z têm o mesmo valor.

Passo 4

Agora que sabemos que y = z, vamos substituir esse valor na terceira equação do sistema:
x + 2y + 2z - w = 4 (Equação 3) çã
Substituindo z por y:
x + 2y + 2y - w = 4 x + 4y - w = 4 (Equação 3 simplificada) çã

Passo 5

Comparemos a Equação 3 simplificada com a Equação 1:
x + 2y - w = 2 (Equação 1) x + 4y - w = 4 (Equação 3 simplificada) çãçã
Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 3 simplificada:
(x + 4y - w) - (x + 2y - w) = 4 - 2 2y = 2 Rightarrow y = 1
Então, y = 1 e, como vimos antes, z = y, logo z = 1.

Passo 6

Com y = 1 e z = 1, vamos substituir esses valores na Equação 1 para encontrar x em função de w:
x + 2(1) - w = 2 x + 2 - w = 2 x - w = 0 Rightarrow x = w
Agora, sabemos que x é igual a w.

Passo 7

Por fim, vamos substituir x = w, y = 1 e z = 1 na quarta equação do sistema:
3x + 4y + 4z - 3w = 8 (Equação 4) çã
Substituindo os valores:
3w + 4(1) + 4(1) - 3w = 8 3w + 4 + 4 - 3w = 8 8 = 8
Essa equação confirma que os valores escolhidos satisfazem todas as equações do sistema, independentemente do valor de w.

Resposta

Uma solução para o sistema é:
x = 0, y = 1, z = 1, w = 0
Observação: Como a última equação resultou em uma identidade verdadeira ( 8 = 8), isso significa que existem infinitas soluções baseadas no valor que você escolher para w. No exemplo acima, escolhi w = 0, mas você pode atribuir qualquer outro valor a w, e ajustar x de acordo ( x = w), mantendo y = 1 e z = 1.

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