Utilize a transformada de Fourier para encontrar uma solução para a seguinte equação diferencial:
k partial^2 upartial x^2=partial upartial t, -infty0
sujeita a u(x, 0)=f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Fourier. A equação que temos é:
k partial^2 upartial x^2 = partial upartial t, -infty < x < infty, t > 0
E a condição inicial é u(x, 0) = f(x). Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Fourier em equações diferenciais parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier na variável x. A Transformada de Fourier de uma função u(x,t) é definida por:
u(k, t) = integral-infty^infty u(x, t) e^-ikx dx
Isso vai transformar a nossa equação diferencial em termos de k, facilitando a resolução.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Fourier na equação original, temos:
k cdot ( -k^2 u(k, t) ) = partial u(k, t)partial t
Aqui usamos a propriedade da Transformada de Fourier que transforma a derivada espacial partial^2 upartial x^2 em -k^2 u(k, t).

Passo 4

Agora, a equação se torna uma equação diferencial ordinária em t:
partial u(k, t)partial t = -k k^2 u(k, t)
Podemos resolver essa equação separando as variáveis:
u(k, t) = f(k) e^-k k^2 t
Onde f(k) é a Transformada de Fourier da condição inicial f(x).

Passo 5

Finalmente, para encontrar a solução u(x, t) no espaço original, aplicamos a Transformada de Fourier inversa:
u(x, t) = 12pi integral-infty^infty f(k) e^-k k^2 t e^ikx dk
Esse é o resultado geral da solução usando a Transformada de Fourier.

Resposta

A solução da equação diferencial é dada por:
u(x, t) = 12pi integral-infty^infty f(k) e^-k k^2 t e^ikx dk

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