Utilize a transformada de Fourier para encontrar uma solução para a seguinte equação diferencial:
sujeita a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Fourier. A equação que temos é:
E a condição inicial é . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Fourier em equações diferenciais parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier na variável . A Transformada de Fourier de uma função é definida por:
Isso vai transformar a nossa equação diferencial em termos de , facilitando a resolução.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Fourier na equação original, temos:
Aqui usamos a propriedade da Transformada de Fourier que transforma a derivada espacial em .

Passo 4

Agora, a equação se torna uma equação diferencial ordinária em :
Podemos resolver essa equação separando as variáveis:
Onde é a Transformada de Fourier da condição inicial .

Passo 5

Finalmente, para encontrar a solução no espaço original, aplicamos a Transformada de Fourier inversa:
Esse é o resultado geral da solução usando a Transformada de Fourier.

Resposta

A solução da equação diferencial é dada por:

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