Utilize a transformada de Fourier para encontrar uma solução para a seguinte equação diferencial:
sujeita a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Fourier. A equação que temos é:
E a condição inicial é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Fourier em equações diferenciais parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier na variável
. A Transformada de Fourier de uma função
é definida por:
Isso vai transformar a nossa equação diferencial em termos de
, facilitando a resolução.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Fourier na equação original, temos:
Aqui usamos a propriedade da Transformada de Fourier que transforma a derivada espacial
em
.
Passo 4
Agora, a equação se torna uma equação diferencial ordinária em
:
Podemos resolver essa equação separando as variáveis:
Onde
é a Transformada de Fourier da condição inicial
.
Passo 5
Finalmente, para encontrar a solução
no espaço original, aplicamos a Transformada de Fourier inversa:
Esse é o resultado geral da solução usando a Transformada de Fourier.
Resposta
A solução da equação diferencial é dada por:
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e
conjuntos numéricos não vazios. Prove que
e
.
Se
e
são três vetores em
, encontre escalares
e
tais que
.
Prove que o item a) não tem solução se for substituído por
. Por que isto ocorre?
Prove que o item a) não tem solução se
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
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