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Seja a reta determinada pela interseção dos planos e . Encontre a equação do plano que passa por e contém a reta .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas informações principais:
A reta : Ela é formada pela interseção de dois planos, dados por e .
O ponto : Queremos encontrar um plano que passe por esse ponto e que também contenha a reta .
Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar:
Encontrar uma representação paramétrica da reta .
Usar o ponto e a reta para determinar a equação do plano desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação paramétrica da reta . Sabemos que é a interseção de dois planos:
Para encontrar uma reta de interseção, podemos resolver esse sistema de equações. Vamos somar as duas equações para simplificar:
Agora que sabemos que , substituímos esse valor em uma das equações originais para encontrar relação entre e . Usando na primeira equação:
Então, podemos parametrizar a reta usando :
Assim, a equação paramétrica da reta é:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o plano que passa pelo ponto P = (0, 0, -1) e contém a reta AP = P - A = (0 - 1, 0 - 0, -1 - (-1)) = (-1, 0, 0) . Para isso, precisamos de um vetor normal ao plano. Sabemos que dois vetores que estão no plano podem nos ajudar a encontrar esse vetor normal.
Primeiro, identificamos um ponto na reta v = (0, 1, 1) . Por exemplo, se :
Então, o vetor que conecta a é:
Também podemos identificar o vetor diretor da reta a partir da parametrização:
Agora, temos dois vetores que estão no plano: e . O vetor normal ao plano será o produto vetorial desses dois vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial entre n = AP times v e n = i & j & k -1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 = i(0 cdot 1 - 0 cdot 1) - j(-1 cdot 1 - 0 cdot 0) + k(-1 cdot 1 - 0 cdot 0) = i(0) - j(-1) + k(-1) = 0i + j - k = (0, 1, -1) :
Calculando:
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 5
Com o vetor normal nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 e o ponto 0(x - 1) + 1(y - 0) - 1(z - (-1)) = 0 0 + y - (z + 1) = 0 y - z - 1 = 0 , podemos escrever a equação do plano usando a forma: