Determine as equações da reta que passa pelo ponto P(3,4,1) e tem vetor diretor a=i+2 j+3 k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar as equações da reta que passa pelo ponto e que tem como vetor diretor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente as equações paramétricas, vetoriais e simétricas de uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos começar encontrando as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas expressam as coordenadas x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t , x = 3 + t y = 4 + 2t z = 1 + 3t e em função de um parâmetro .
A fórmula geral das equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto e tem vetor diretor é:
Substituindo os valores dados:
  • , ,
  • , ,
Temos:

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial utiliza o vetor posição de um ponto qualquer da reta e o vetor diretor.
A fórmula geral é:
r = r0 + t a
Onde r = (3i + 4j + 1k) + t(1i + 2j + 3k) é o vetor posição do ponto , que é .
Então, substituindo:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar as equações simétricas da reta. As equações simétricas relacionam as coordenadas x - x0a = y - y0b = z - z0c , x - 31 = y - 42 = z - 13 e diretamente, sem o parâmetro .
A fórmula geral é:
Substituindo os valores:

Resposta

As equações da reta que passa pelo ponto x = 3 + t y = 4 + 2t z = 1 + 3t e tem vetor diretor r = (3i + 4j + 1k) + t(1i + 2j + 3k) são:
Equações Paramétricas:
x - 31 = y - 42 = z - 13
Equação Vetorial:
Equações Simétricas:

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