Determine as equações da reta que passa pelo ponto e tem vetor diretor
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar as equações da reta que passa pelo ponto e que tem como vetor diretor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente as equações paramétricas, vetoriais e simétricas de uma reta no espaço tridimensional.
Passo 2
Vamos começar encontrando as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas expressam as coordenadas , e em função de um parâmetro .
A fórmula geral das equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto e tem vetor diretor é:
Substituindo os valores dados:
, ,
, ,
Temos:
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial utiliza o vetor posição de um ponto qualquer da reta e o vetor diretor.
A fórmula geral é:
r = r0 + t a
Onde r = (3i + 4j + 1k) + t(1i + 2j + 3k) é o vetor posição do ponto , que é .
Então, substituindo:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar as equações simétricas da reta. As equações simétricas relacionam as coordenadas x - x0a = y - y0b = z - z0c , x - 31 = y - 42 = z - 13 e diretamente, sem o parâmetro .
A fórmula geral é:
Substituindo os valores:
Resposta
As equações da reta que passa pelo ponto x = 3 + t y = 4 + 2t z = 1 + 3t e tem vetor diretor r = (3i + 4j + 1k) + t(1i + 2j + 3k) são: