Considere a matriz .
(b) Descreva as relações de dependência linear entre as colunas de A e encontre uma base de Col(A).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma matriz de 4 linhas e 5 colunas. O que a gente precisa fazer aqui é descobrir se as colunas dessa matriz são dependentes ou não, ou seja, se alguma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras. Depois, a gente vai encontrar uma base para o espaço das colunas de , que é basicamente um conjunto de colunas que gera todo o espaço das colunas de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que as colunas são dependentes linearmente. Isso quer dizer que existe uma combinação das colunas de c1 cdot A1 + c2 cdot A2 + c3 cdot A3 + c4 cdot A4 + c5 cdot A5 = 0 que resulta no vetor zero, onde pelo menos um dos coeficientes dessa combinação não é zero. Formalmente, queremos encontrar escalares tais que:
Onde são as colunas da matriz .
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações para encontrar esses coeficientes. Primeiro, anotamos as colunas de A1 = 1 1 -1 0 , A2 = 2 1 1 1 , A3 = 0 1 -3 -1 , A4 = 1 0 1 0 , A5 = 2 3 -4 0 :
Isso significa que as equações são dependentes, e temos infinitas soluções. Podemos parametrizar as soluções em relação a - c1 - 2c3 - 3t = 0 Rightarrow c1 = -2c3 - 3t . Vamos chamar , onde é um parâmetro livre.
Então, temos:
á
á
Da equação (2):
E da equação (4):
Passo 5
Vamos resumir as soluções obtidas:
c1 = -2c3 - 3t
c2 = c3
c4 = t
c5 = t
Aqui, c1 = -2c3 - 3t c2 = c3 c3 = c3 c4 = t c5 = t e são parâmetros livres. Podemos expressar as soluções em termos de e :
Isso significa que as colunas da matriz são linearmente dependentes, e as relações de dependência linear entre elas podem ser descritas em termos desses parâmetros.
Passo 6
Agora, para encontrar uma base para A = 1 & 2 & 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 & 0 & 3 -1 & 1 & -3 & 1 & -4 0 & 1 & -1 & 0 & 0 , vamos identificar quais colunas são necessárias para gerar todas as outras. Isso geralmente é feito identificando as colunas que correspondem aos pivôs na forma escalonada da matriz.
Vamos montar a matriz original e realizar a escalonamento por linhas:
Agora, a matriz está em forma escalonada. Podemos ver que as colunas com pivôs são a primeira, a segunda e a quarta. Isso significa que as colunas 1, 2 e 4 são linearmente independentes e formam uma base para o espaço das colunas de .
Resposta
As colunas da matriz 1 1 -1 0 , 2 1 1 1 , 1 0 1 0 são linearmente dependentes, com as relações de dependência dadas por , , e . Uma base para é formada pelas colunas 1, 2 e 4 de :