Considere a matriz A=(ccccc1 & 2 & 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 & 0 & 3 -1 & 1 & -3 & 1 & -4 0 & 1 & -1 & 0 & 0).
(b) Descreva as relações de dependência linear entre as colunas de A e encontre uma base de Col(A).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma matriz de 4 linhas e 5 colunas. O que a gente precisa fazer aqui é descobrir se as colunas dessa matriz são dependentes ou não, ou seja, se alguma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras. Depois, a gente vai encontrar uma base para o espaço das colunas de , que é basicamente um conjunto de colunas que gera todo o espaço das colunas de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que as colunas são dependentes linearmente. Isso quer dizer que existe uma combinação das colunas de c1 cdot A1 + c2 cdot A2 + c3 cdot A3 + c4 cdot A4 + c5 cdot A5 = 0 que resulta no vetor zero, onde pelo menos um dos coeficientes dessa combinação não é zero. Formalmente, queremos encontrar escalares tais que:
Onde são as colunas da matriz .

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações para encontrar esses coeficientes. Primeiro, anotamos as colunas de A1 = 1 1 -1 0 , A2 = 2 1 1 1 , A3 = 0 1 -3 -1 , A4 = 1 0 1 0 , A5 = 2 3 -4 0 :
c1 cdot 1 + c2 cdot 2 + c3 cdot 0 + c4 cdot 1 + c5 cdot 2 = 0 (Primeira linha)
Então, nossa equação fica:
c1 cdot 1 + c2 cdot 1 + c3 cdot 1 + c4 cdot 0 + c5 cdot 3 = 0 (Segunda linha)
c1 cdot (-1) + c2 cdot 1 + c3 cdot (-3) + c4 cdot 1 + c5 cdot (-4) = 0 (Terceira linha)
c1 cdot 0 + c2 cdot 1 + c3 cdot (-1) + c4 cdot 0 + c5 cdot 0 = 0 (Quarta linha)
c1 + 2c2 + c4 + 2c5 = 0 c1 + c2 + c3 + 3c5 = 0 - c1 + c2 - 3c3 + c4 - 4c5 = 0 c2 - c3 = 0
Isso nos dá o seguinte sistema linear:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema. Vamos montar a matriz aumentada e fazer o escalonamento para achar os valores de 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & | & 0 1 & 1 & 1 & 0 & 3 & | & 0 -1 & 1 & -3 & 1 & -4 & | & 0 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & | & 0 :
c2 - c3 = 0 Rightarrow c2 = c3
Vamos usar a quarta equação primeiro, que é mais simples:
c1 + 2c3 + c4 + 2c5 = 0 (1)
Substituindo c1 + c3 + c3 + 3c5 = 0 Rightarrow c1 + 2c3 + 3c5 = 0 (2) nas outras equações:
Primeira equação:
- c1 + c3 - 3c3 + c4 - 4c5 = 0 Rightarrow -c1 - 2c3 + c4 - 4c5 = 0 (3)
Segunda equação:
c1 + 2c3 + c4 + 2c5 = 0 (1) c1 + 2c3 + 3c5 = 0 (2) - c1 - 2c3 + c4 - 4c5 = 0 (3)
Terceira equação:
(c1 + 2c3 + c4 + 2c5) - (c1 + 2c3 + 3c5) = 0 - 0 Rightarrow c4 - c5 = 0 Rightarrow c4 = c5
Agora, temos um sistema reduzido:
- c1 - 2c3 + c5 - 4c5 = 0 Rightarrow -c1 - 2c3 - 3c5 = 0 (4)
Vamos subtrair a equação (2) da equação (1):
c1 + 2c3 + 3c5 = 0 (2) - c1 - 2c3 - 3c5 = 0 (4)
Agora, substituímos (c1 - c1) + (2c3 - 2c3) + (3c5 - 3c5) = 0 + 0 Rightarrow 0 = 0 na equação (3):
c4 = t (já que c4 = c5 )
Temos agora:
c2 = c3 (já que c2 = c3 )
Somando as equações (2) e (4):
c1 + 2c3 + 3t = 0 Rightarrow c1 = -2c3 - 3t
Isso significa que as equações são dependentes, e temos infinitas soluções. Podemos parametrizar as soluções em relação a - c1 - 2c3 - 3t = 0 Rightarrow c1 = -2c3 - 3t . Vamos chamar , onde é um parâmetro livre.
Então, temos:
á
á
Da equação (2):
E da equação (4):

Passo 5

Vamos resumir as soluções obtidas:
c1 = -2c3 - 3t
c2 = c3
c4 = t
c5 = t
Aqui, c1 = -2c3 - 3t c2 = c3 c3 = c3 c4 = t c5 = t e são parâmetros livres. Podemos expressar as soluções em termos de e :
Isso significa que as colunas da matriz são linearmente dependentes, e as relações de dependência linear entre elas podem ser descritas em termos desses parâmetros.

Passo 6

Agora, para encontrar uma base para A = 1 & 2 & 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 & 0 & 3 -1 & 1 & -3 & 1 & -4 0 & 1 & -1 & 0 & 0 , vamos identificar quais colunas são necessárias para gerar todas as outras. Isso geralmente é feito identificando as colunas que correspondem aos pivôs na forma escalonada da matriz.
Vamos montar a matriz original e realizar a escalonamento por linhas:
1 & 2 & 0 & 1 & 2 0 & -1 & 1 & -1 & 1 -1 & 1 & -3 & 1 & -4 0 & 1 & -1 & 0 & 0
Passo a passo:
  1. Linha 2: Subtrair a Linha 1 da Linha 2.
1 & 2 & 0 & 1 & 2 0 & -1 & 1 & -1 & 1 0 & 3 & -3 & 2 & -2 0 & 1 & -1 & 0 & 0
  1. Linha 3: Adicionar a Linha 1 à Linha 3.
1 & 2 & 0 & 1 & 2 0 & -1 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 5 & -5 0 & 1 & -1 & 0 & 0
  1. Linha 4: Já está com zero na primeira posição.
  2. Linha 3: Subtrair 3 vezes a Linha 2 da Linha 3.
1 & 2 & 0 & 1 & 2 0 & -1 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 5 & -5 0 & 0 & 0 & -1 & 1
  1. Linha 4: Adicionar a Linha 2 à Linha 4.
1 & 2 & 0 & 1 & 2 0 & -1 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 5 & -5 0 & 0 & 0 & 1 & -1
  1. Linha 4: Multiplicar a Linha 4 por -1.
1 & 2 & 0 & 1 & 2 0 & -1 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1
  1. Linha 3: Subtrair 5 vezes a Linha 4 da Linha 3.
Agora, a matriz está em forma escalonada. Podemos ver que as colunas com pivôs são a primeira, a segunda e a quarta. Isso significa que as colunas 1, 2 e 4 são linearmente independentes e formam uma base para o espaço das colunas de .

Resposta

As colunas da matriz 1 1 -1 0 , 2 1 1 1 , 1 0 1 0 são linearmente dependentes, com as relações de dependência dadas por , , e . Uma base para é formada pelas colunas 1, 2 e 4 de :

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