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Sejam A=[ccc1 & -2 & -1 2 & 4 & 3 3 & 0 & -2] e B=[cc1 & -1 3 & 2 2 & 4]. Expressar as colunas de A B como uma combinação linear das colunas de B

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes:
A = 1 & -2 & -1 2 & 4 & 3 3 & 0 & -2 e B = 1 & -1 3 & 2 2 & 4
O objetivo é encontrar a matriz e, em seguida, expressar cada coluna de como uma combinação linear das colunas de . Para isso, precisamos entender conceitos de multiplicação de matrizes e combinações lineares.

Passo 2

Vamos começar calculando o produto AB = A times B . A multiplicação de matrizes envolve multiplicar as linhas de pelas colunas de .
Como é uma matriz e é uma matriz , o resultado será uma matriz .

Passo 3

Vamos calcular cada elemento de (AB)11 &= 1 times 1 + (-2) times 3 + (-1) times 2 = 1 - 6 - 2 = -7 (AB)21 &= 2 times 1 + 4 times 3 + 3 times 2 = 2 + 12 + 6 = 20 (AB)31 &= 3 times 1 + 0 times 3 + (-2) times 2 = 3 + 0 - 4 = -1 :
Para a primeira coluna de (AB)12 &= 1 times (-1) + (-2) times 2 + (-1) times 4 = -1 -4 -4 = -9 (AB)22 &= 2 times (-1) + 4 times 2 + 3 times 4 = -2 + 8 + 12 = 18 (AB)32 &= 3 times (-1) + 0 times 2 + (-2) times 4 = -3 + 0 -8 = -11 :
AB = -7 & -9 20 & 18 -1 & -11
Para a segunda coluna de :
Portanto, a matriz é:

Passo 4

Agora, vamos expressar cada coluna de B1 = 1 3 2 e B2 = -1 2 4 como uma combinação linear das colunas de AB1 = c1 B1 + c2 B2 e AB2 = d1 B1 + d2 B2 . As colunas de são:
Queremos encontrar coeficientes e tais que:

Passo 5

Vamos resolver para a primeira coluna de -7 20 -1 , que é c1 (1) + c2 (-1) = -7 c1 (3) + c2 (2) = 20 c1 (2) + c2 (4) = -1 .
Temos o sistema:
Vamos resolver essas equações passo a passo.

Passo 6

Primeiro, da primeira equação:
c1 - c2 = -7 Rightarrow c1 = c2 - 7
Substituímos 3(c2 - 7) + 2c2 = 20 3c2 - 21 + 2c2 = 20 5c2 = 41 c2 = 415 na segunda equação:
c1 = 415 - 7 = 415 - 355 = 65
Então,
2 times 65 + 4 times 415 = 125 + 1645 = 1765 neq -1
Verificamos na terceira equação:
Há uma inconsistência, o que sugere que as colunas de não podem ser expressas como combinações lineares das colunas de . Isso significa que as colunas de não estão no espaço gerado pelas colunas de .

Passo 7

Portanto, concluímos que não é possível expressar as colunas de como combinações lineares das colunas de .

Resposta

As colunas de não podem ser expressas como combinações lineares das colunas de .

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