A matriz [cc4 & 1 0 & -3] é uma combinação linear das matrizes[ll1 & 0 0 & 1] e [ll0 & 1 0 & 1] ? Justifique sua res-
posta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a matriz
4 & 1 0 & -3
pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes
1 & 0 0 & 1
e
0 & 1 0 & 1
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que existem números (escalas) a 1 & 0 0 & 1 + b 0 & 1 0 & 1 = 4 & 1 0 & -3 e tais que:

Passo 3

Vamos fazer a soma das matrizes multiplicadas pelas escalas a 1 & 0 0 & 1 = a & 0 0 & a e b 0 & 1 0 & 1 = 0 & b 0 & b :
a & 0 0 & a + 0 & b 0 & b = a & b 0 & a + b
Somando essas duas matrizes:

[

+


]

Passo 4

Agora, igualamos essa soma à matriz que queremos obter:

[
a & b 0 & a + b = 4 & 1 0 & -3

a = 4 b = 1 a + b = -3
]
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
  1. Da primeira equação, já sabemos que 4 + 1 = 5 neq -3 .
  2. Da segunda equação, .
  3. Agora, substituindo e na terceira equação:
Isso dá uma contradição porque 5 não é igual a -3.

Resposta

Não, a matriz
4 & 1 0 & -3
não é uma combinação linear das matrizes dadas porque não existem valores de e que satisfazem todas as equações do sistema.

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