Considere beta=v1, v2, v3 subset R^6 e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S1:[lll v1 & v2 & v3 mid 0 ] e S2:[ll v1 & v2 mid v3 ]
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se beta é LI, então S2 não tem solução.
II - Se beta é LD, então S2 pode ter solução única.
III - Se beta é LI, então S1 tem solução única.
(G) Todas são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto de vetores beta = v1, v2, v3 no espaço R^6. E foram apresentados dois sistemas lineares, S1 e S2, com matrizes aumentadas. A questão quer que a gente analise algumas afirmações sobre a linearidade desse conjunto de vetores e as soluções dos sistemas. Para resolver, vamos precisar entender de sistemas lineares, independência linear (LI) e dependência linear (LD) de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um sistema linear. Um sistema é um conjunto de equações lineares que buscamos solucionar, ou seja, encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo.
No caso, temos duas matrizes aumentadas:
S1:[lll v1 & v2 & v3 mid 0 ]
S2:[ll v1 & v2 mid v3 ]
A matriz aumentada inclui os vetores como colunas e o último coluna representa o termo independente das equações.

Passo 3

Vamos lembrar o que são independência linear (LI) e dependência linear (LD):
  • Independente linearmente (LI): Vetores são LI se nenhuma combinação linear não trivial (ou seja, com coeficientes diferentes de zero) deles resulta no vetor nulo. Em termos simples, nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação dos outros.
  • Dependente linearmente (LD): Vetores são LD se pelo menos um vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Passo 4

Agora, vamos analisar cada afirmação:
I - Se beta é LI, então S2 não tem solução.
Se beta é LI, isso significa que os vetores v1, v2, v3 são independentes. Vamos ver o que isso implica para o sistema S2.
O sistema S2 tenta expressar v3 como uma combinação linear de v1 e v2. Se beta é LI, v3 não pode ser escrito como combinação de v1 e v2, ou seja, o sistema não tem solução.
Então, a afirmação I é verdadeira.

Passo 5

II - Se beta é LD, então S2 pode ter solução única.
Se beta é LD, significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação dos outros. No caso, v3 pode ser expresso em termos de v1 e v2. Portanto, o sistema S2 terá pelo menos uma solução (pois existe uma combinação que resulta em v3).
No entanto, se beta for LD, há mais de uma maneira de expressar v3, levando a infinitas soluções, a menos que haja restrições adicionais. Portanto, a afirmação de que pode ter uma solução única não é necessariamente verdadeira; na verdade, terá infinitas soluções.
Assim, a afirmação II é falsa.

Passo 6

III - Se beta é LI, então S1 tem solução única.
O sistema S1 é:
v1x + v2y + v3z = 0
Se beta é LI, a única solução para esse sistema é a trivial, ou seja, x = y = z = 0. Isso porque, por serem vetores independentes, não há combinação não trivial que resulte no vetor nulo.
Portanto, a afirmação III é verdadeira.

Resposta

As afirmações I e III são verdadeiras, enquanto a afirmação II é falsa.

Exercícios relacionados