Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LI, então
não tem solução.
II - Se
é LD, então
pode ter solução única.
III - Se
é LI, então
tem solução única.
(G) Todas são verdadeiras.
I - Se
II - Se
III - Se
(G) Todas são verdadeiras.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto de vetores
no espaço
. E foram apresentados dois sistemas lineares,
e
, com matrizes aumentadas. A questão quer que a gente analise algumas afirmações sobre a linearidade desse conjunto de vetores e as soluções dos sistemas. Para resolver, vamos precisar entender de sistemas lineares, independência linear (LI) e dependência linear (LD) de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um sistema linear. Um sistema é um conjunto de equações lineares que buscamos solucionar, ou seja, encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo.
No caso, temos duas matrizes aumentadas:
A matriz aumentada inclui os vetores como colunas e o último coluna representa o termo independente das equações.
Passo 3
Vamos lembrar o que são independência linear (LI) e dependência linear (LD):
-
Independente linearmente (LI): Vetores são LI se nenhuma combinação linear não trivial (ou seja, com coeficientes diferentes de zero) deles resulta no vetor nulo. Em termos simples, nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação dos outros.
-
Dependente linearmente (LD): Vetores são LD se pelo menos um vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Passo 4
Agora, vamos analisar cada afirmação:
I - Se
é LI, então
não tem solução.
Se
é LI, isso significa que os vetores
são independentes. Vamos ver o que isso implica para o sistema
.
O sistema
tenta expressar
como uma combinação linear de
e
. Se
é LI,
não pode ser escrito como combinação de
e
, ou seja, o sistema não tem solução.
Então, a afirmação I é verdadeira.
Passo 5
II - Se
é LD, então
pode ter solução única.
Se
é LD, significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação dos outros. No caso,
pode ser expresso em termos de
e
. Portanto, o sistema
terá pelo menos uma solução (pois existe uma combinação que resulta em
).
No entanto, se
for LD, há mais de uma maneira de expressar
, levando a infinitas soluções, a menos que haja restrições adicionais. Portanto, a afirmação de que pode ter uma solução única não é necessariamente verdadeira; na verdade, terá infinitas soluções.
Assim, a afirmação II é falsa.
Passo 6
III - Se
é LI, então
tem solução única.
O sistema
é:
Se
é LI, a única solução para esse sistema é a trivial, ou seja,
. Isso porque, por serem vetores independentes, não há combinação não trivial que resulte no vetor nulo.
Portanto, a afirmação III é verdadeira.
Resposta
As afirmações I e III são verdadeiras, enquanto a afirmação II é falsa.