Sejam A=[rr2 & 3 -1 & 1] e B=[rr1 & 9 -3 & k]. Quais os valores de k, se existir algum, que fazem com que A B=B A ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O enunciado nos pede para encontrar os valores de que fazem com que as matrizes e comutem, ou seja, . Vamos precisar usar o conceito de multiplicação de matrizes e igualar os produtos e para achar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar as matrizes A = 2 & 3 -1 & 1 , B = 1 & 9 -3 & k e AB = 2 times 1 + 3 times (-3) & 2 times 9 + 3 times k -1 times 1 + 1 times (-3) & -1 times 9 + 1 times k = 2 - 9 & 18 + 3k -1 - 3 & -9 + k = -7 & 18 + 3k -4 & -9 + k na ordem . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas de pelas colunas de .
Multiplicando por :

Passo 3

Agora, vamos multiplicar as matrizes BA = 1 times 2 + 9 times (-1) & 1 times 3 + 9 times 1 -3 times 2 + k times (-1) & -3 times 3 + k times 1 = 2 - 9 & 3 + 9 -6 - k & -9 + k = -7 & 12 -6 - k & -9 + k e na ordem :

Passo 4

Para que -7 = -7 (já é igual) , todas as posições correspondentes das matrizes devem ser iguais. Vamos comparar os elementos:
  1. Elemento (1,1):
    18 + 3k = 12 áé
  2. Elemento (1,2):
    -4 = -6 - k
  3. Elemento (2,1):
    -9 + k = -9 + k (já é igual)
  4. Elemento (2,2):
    áé

Passo 5

Vamos resolver as duas equações que faltam:
  1. Para 3k = 12 - 18 3k = -6 k = -2 :
    -4 + 6 = -k 2 = -k k = -2
  2. Para :

Resposta

O valor de que faz com que é .

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