A diagonal de um losango forma com um dos seus lados um ângulo igual à terça parte de um ângulo reto. Determine as medidas dos quatro ângulos do losango.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um losango, que é uma figura geométrica com quatro lados iguais. A questão nos diz que uma das diagonais forma com um dos lados um ângulo igual a um terço de um ângulo reto. Nosso objetivo é descobrir as medidas dos quatro ângulos internos desse losango. Para isso, vamos usar conceitos de geometria sobre losangos e propriedades dos ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em um losango, as diagonais se cruzam formando ângulos que são iguais a metade dos ângulos internos do losango. Além disso, as diagonais são perpendiculares entre si. Como um ângulo reto tem 90 graus, um terço disso é 30 graus. Então, a diagonal está formando um ângulo de 30 graus com um dos lados do losango.

Passo 3

Sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 360 graus. No losango, os ângulos opostos são iguais. Vamos chamar os ângulos internos do losango de 2alpha + 2beta = 360^circ e alpha + beta = 180^circ , onde é o ângulo maior e o menor. Então, temos:
Simplificando:
Isso significa que os ângulos adjacentes em um losango são suplementares.

Passo 4

Agora, voltando ao ângulo formado pela diagonal e o lado, que sabemos ser 30 graus. Esse ângulo é a metade do ângulo interno beta2 = 30^circ do losango, pois a diagonal divide o ângulo interno em duas partes iguais. Portanto:
beta = 60^circ
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 5

Com alpha = 180^circ - beta e sabendo que alpha = 180^circ - 60^circ , podemos encontrar alpha = 120^circ :

Resposta

Os quatro ângulos do losango medem , , e .

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