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Sejam
, com
. Mostre que se
, então
. Mostre, com um exemplo, que a recíproca é falsa.
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que o exercício está pedindo é para mostrar que, se duas transformações lineares
e
em um espaço vetorial
(com dimensão
) tiverem o mesmo polinômio característico, então os determinantes das matrizes que representam
e
também são iguais. Além disso, precisamos mostrar com um exemplo que o contrário não é verdadeiro, ou seja, que ter determinantes iguais não garante que os polinômios característicos sejam iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios característicos e determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico de uma matriz. Para uma matriz quadrada
de ordem
, o polinômio característico é definido como:
onde
é a matriz identidade de mesma ordem que
, e
representa o determinante.
Passo 3
Agora, vamos analisar o polinômio característico mais de perto. Ao expandirmos
, o polinômio resultante será um polinômio de grau
em
. O termo constante desse polinômio (ou seja, quando
) será
. Isso significa que o determinante de
pode ser obtido diretamente a partir do polinômio característico.
Passo 4
Com isso em mente, se duas matrizes
e
têm o mesmo polinômio característico
, então, especificamente, os termos constantes desses polinômios serão iguais. Portanto:
Isso prova a primeira parte do exercício.
Passo 5
Agora, vamos mostrar que o contrário não é verdadeiro, ou seja, que matrizes com determinantes iguais podem ter polinômios característicos diferentes. Vamos considerar o seguinte exemplo simples com matrizes 2x2:
Considere
Ambas as matrizes
e
têm determinantes iguais:
No entanto, seus polinômios característicos são:
Ah, na verdade, nesse caso os polinômios são iguais! Vamos tentar outro exemplo.
Considere
Ambas têm determinantes iguais a 2:
Mas seus polinômios característicos são:
Ops, novamente iguais. Precisamos de um exemplo melhor.
Vamos usar matrizes com mesma determinante, mas diferentes traços (o coeficiente de
no polinômio característico). Por exemplo:
Ambas têm determinante 3:
Ah, vamos ajustar para que tenham mesmo determinante. Vamos escolher:
Ambas têm determinante
:
Mas seus polinômios característicos são diferentes:
Viu só? Mesmo com determinantes iguais, os polinômios característicos são diferentes.
Resposta
Então, mostramos que se duas transformações lineares têm o mesmo polinômio característico, seus determinantes são iguais. Porém, o inverso não é verdadeiro, já que podemos encontrar matrizes com determinantes iguais mas polinômios característicos diferentes, como nos exemplos dados.