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Sejam S, T in L(V), com dim V=n. Mostre que se fA(x)=fB(x), então det A=det B. Mostre, com um exemplo, que a recíproca é falsa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que o exercício está pedindo é para mostrar que, se duas transformações lineares e em um espaço vetorial (com dimensão ) tiverem o mesmo polinômio característico, então os determinantes das matrizes que representam e também são iguais. Além disso, precisamos mostrar com um exemplo que o contrário não é verdadeiro, ou seja, que ter determinantes iguais não garante que os polinômios característicos sejam iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios característicos e determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico de uma matriz. Para uma matriz quadrada fA(x) = det(xI - A) de ordem , o polinômio característico é definido como:
onde é a matriz identidade de mesma ordem que , e representa o determinante.

Passo 3

Agora, vamos analisar o polinômio característico mais de perto. Ao expandirmos , o polinômio resultante será um polinômio de grau em . O termo constante desse polinômio (ou seja, quando ) será . Isso significa que o determinante de pode ser obtido diretamente a partir do polinômio característico.

Passo 4

Com isso em mente, se duas matrizes det(A) = det(B) e têm o mesmo polinômio característico , então, especificamente, os termos constantes desses polinômios serão iguais. Portanto:
Isso prova a primeira parte do exercício.

Passo 5

Agora, vamos mostrar que o contrário não é verdadeiro, ou seja, que matrizes com determinantes iguais podem ter polinômios característicos diferentes. Vamos considerar o seguinte exemplo simples com matrizes 2x2:
Considere
A = 1 & 0 0 & 2 e B = 2 & 0 0 & 1
Ambas as matrizes det(A) = 1 times 2 = 2 e det(B) = 2 times 1 = 2 e fA(x) = det(xI - A) = (x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2 têm determinantes iguais:
fB(x) = det(xI - B) = (x - 2)(x - 1) = x^2 - 3x + 2
No entanto, seus polinômios característicos são:
C = 1 & 1 0 & 2 e D = 2 & 0 0 & 1
det(C) = 1 times 2 = 2 e det(D) = 2 times 1 = 2
Ah, na verdade, nesse caso os polinômios são iguais! Vamos tentar outro exemplo.
Considere
fC(x) = det(xI - C) = (x - 1)(x - 2) - (1 times 0) = x^2 - 3x + 2
Ambas têm determinantes iguais a 2:
fD(x) = det(xI - D) = (x - 2)(x - 1) = x^2 - 3x + 2
Mas seus polinômios característicos são:
E = 3 & 0 0 & 1 e F = 2 & 0 0 & 2
det(E) = 3 times 1 = 3 e det(F) = 2 times 2 = 4 (Oops, diferente)
Ops, novamente iguais. Precisamos de um exemplo melhor.
Vamos usar matrizes com mesma determinante, mas diferentes traços (o coeficiente de G = 2 & 0 0 & 2 e H = 3 & 0 0 & 43 no polinômio característico). Por exemplo:
det(G) = 2 times 2 = 4 e det(H) = 3 times 43 = 4
Ambas têm determinante 3:
fG(x) = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
Ah, vamos ajustar para que tenham mesmo determinante. Vamos escolher:
fH(x) = (x - 3)(x - 43) = x^2 - (3 + 43)x + 4 = x^2 - 133x + 4
Ambas têm determinante :
Mas seus polinômios característicos são diferentes:
Viu só? Mesmo com determinantes iguais, os polinômios característicos são diferentes.

Resposta

Então, mostramos que se duas transformações lineares têm o mesmo polinômio característico, seus determinantes são iguais. Porém, o inverso não é verdadeiro, já que podemos encontrar matrizes com determinantes iguais mas polinômios característicos diferentes, como nos exemplos dados.

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