Verifique se é autovalor lambda=3 da matriz transformação linear A=(ll1 & 2 3 & 0) associado ao autovetor v=(1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o número lambda = 3 é um autovalor da matriz de transformação linear A = 1 & 2 3 & 0, associado ao autovetor v = (1,1).
Matéria envolvida: Autovalores e autovetores de matrizes.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é um autovalor e um autovetor.
  • Saber como multiplicar matrizes por vetores.
  • Verificar se a condição Av = lambda v é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são autovalores e autovetores.
  • Autovalor ( lambda): É um número que, quando a matriz A é multiplicada por um vetor v, o resultado é o mesmo que multiplicar o vetor v por lambda.
  • Autovetor ( v): É o vetor que não muda de direção quando a matriz A é aplicada a ele, apenas é escalado pelo autovalor lambda.
A condição matemática para isso é:
A v = lambda v

Passo 3

Vamos aplicar essa condição com os valores que temos. Primeiro, vamos multiplicar a matriz A pelo vetor v = (1,1).
Matriz A:
A = 1 & 2 3 & 0
Vetor v:
v = 1 1
Multiplicando A por v:
A v = 1 cdot 1 + 2 cdot 1 3 cdot 1 + 0 cdot 1 = 3 3

Passo 4

Agora, vamos calcular lambda v com lambda = 3:
lambda v = 3 cdot 1 1 = 3 3

Passo 5

Vamos comparar os resultados de A v e lambda v:
A v = 3 3 e lambda v = 3 3
Como os dois vetores são iguais, a condição A v = lambda v é satisfeita.

Resposta

Sim, lambda = 3 é um autovalor da matriz A = 1 & 2 3 & 0 associado ao autovetor v = (1,1).

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