Verifique se é autovalor
da matriz transformação linear
associado ao autovetor
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o número
é um autovalor da matriz de transformação linear
, associado ao autovetor
.
Matéria envolvida: Autovalores e autovetores de matrizes.
O que vamos precisar:
- Entender o que é um autovalor e um autovetor.
- Saber como multiplicar matrizes por vetores.
- Verificar se a condição
é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são autovalores e autovetores.
-
Autovalor (
): É um número que, quando a matriz é multiplicada por um vetor , o resultado é o mesmo que multiplicar o vetor por . -
Autovetor (
): É o vetor que não muda de direção quando a matriz é aplicada a ele, apenas é escalado pelo autovalor .
A condição matemática para isso é:
Passo 3
Vamos aplicar essa condição com os valores que temos. Primeiro, vamos multiplicar a matriz
pelo vetor
.
Matriz
:
Vetor
:
Multiplicando
por
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
com
:
Passo 5
Vamos comparar os resultados de
e
:
Como os dois vetores são iguais, a condição
é satisfeita.
Resposta
Sim,
é um autovalor da matriz
associado ao autovetor
.
Exercícios relacionados
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(i) , para todo
.
(i)
Seja a matriz
tal que
, então qual o valor de
?
Sejam as matrizes
, em que
, e
em que
. Determine:
11
Sejam , com
. Mostre que se
, então
. Mostre, com um exemplo, que a recíproca é falsa.
Sejam