Verifique se é autovalor da matriz transformação linear associado ao autovetor

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o número é um autovalor da matriz de transformação linear , associado ao autovetor .
Matéria envolvida: Autovalores e autovetores de matrizes.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é um autovalor e um autovetor.
  • Saber como multiplicar matrizes por vetores.
  • Verificar se a condição é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são autovalores e autovetores.
  • Autovalor ( ): É um número que, quando a matriz é multiplicada por um vetor , o resultado é o mesmo que multiplicar o vetor por .
  • Autovetor ( ): É o vetor que não muda de direção quando a matriz é aplicada a ele, apenas é escalado pelo autovalor .
A condição matemática para isso é:

Passo 3

Vamos aplicar essa condição com os valores que temos. Primeiro, vamos multiplicar a matriz pelo vetor .
Matriz :
Vetor :
Multiplicando por :

Passo 4

Agora, vamos calcular com :

Passo 5

Vamos comparar os resultados de e :
Como os dois vetores são iguais, a condição é satisfeita.

Resposta

Sim, é um autovalor da matriz associado ao autovetor .

Exercícios relacionados

Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(i) , para todo .
Seja a matriz tal que , então qual o valor de ?
Sejam as matrizes , em que , e em que . Determine:
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Sejam , com . Mostre que se , então . Mostre, com um exemplo, que a recíproca é falsa.