Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear B=[cc-16 & 10 -16 & 8]

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o polinômio característico e os autovalores da matriz de transformação linear -16 & 10 -16 & 8 . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a teoria de autovalores e autovetores. Precisaremos conhecer como calcular o polinômio característico de uma matriz e como encontrar seus autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Para uma matriz quadrada , o polinômio característico é dado por , onde representa os autovalores e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz I = 1 & 0 0 & 1 . A matriz identidade B - lambda I = -16 - lambda & 10 -16 & 8 - lambda de ordem 2 é:
Subtraindo de :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz para obter o polinômio característico:
det(B - lambda I) = (-16 - lambda)(8 - lambda) - (10)(-16)
Vamos multiplicar os termos:
(-16 - lambda)(8 - lambda) = (-16)(8) + (-16)(-lambda) + (-lambda)(8) + (-lambda)(-lambda) = -128 + 16lambda -8lambda + lambda^2 = lambda^2 + 8lambda - 128
E:
(10)(-16) = -160
Substituindo de volta no determinante:
det(B - lambda I) = (lambda^2 + 8lambda - 128) - (-160) = lambda^2 + 8lambda - 128 + 160 = lambda^2 + 8lambda + 32
Portanto, o polinômio característico é:
p(lambda) = lambda^2 + 8lambda + 32

Passo 5

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica lambda^2 + 8lambda + 32 = 0 :
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
De
Onde , e .
Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo ( ), não há soluções reais para . Portanto, os autovalores são números complexos.

Passo 6

Vamos calcular os autovalores complexos:
lambda = -8 pm raiz-642 = -8 pm 8i2 = -4 pm 4i

Resposta

O polinômio característico da matriz é e os seus autovalores são e .

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