Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o polinômio característico e os autovalores da matriz de transformação linear
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a teoria de autovalores e autovetores. Precisaremos conhecer como calcular o polinômio característico de uma matriz e como encontrar seus autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Para uma matriz quadrada
, o polinômio característico é dado por
, onde
representa os autovalores e
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
.
Passo 3
Vamos montar a matriz
. A matriz identidade
de ordem 2 é:
Subtraindo
de
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz para obter o polinômio característico:
Vamos multiplicar os termos:
E:
Substituindo de volta no determinante:
Portanto, o polinômio característico é:
Passo 5
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica
:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Onde
,
e
.
Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo (
), não há soluções reais para
. Portanto, os autovalores são números complexos.
Passo 6
Vamos calcular os autovalores complexos:
Resposta
O polinômio característico da matriz
é
e os seus autovalores são
e
.
Exercícios relacionados
11
Sejam , com
. Mostre que se
, então
. Mostre, com um exemplo, que a recíproca é falsa.
Sejam
Sejam as matrizes
, em que
, e
em que
. Determine:
Determine
e
, de modo que a matriz abaixo seja identidade.
Sejam
, com
, e
, para alguma base
de
. Mostre que:
(b) Se é ímpar e
, então
possui pelo menos um autovalor negativo.
(b) Se