Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o polinômio característico e os autovalores da matriz de transformação linear . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a teoria de autovalores e autovetores. Precisaremos conhecer como calcular o polinômio característico de uma matriz e como encontrar seus autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Para uma matriz quadrada , o polinômio característico é dado por , onde representa os autovalores e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz . A matriz identidade de ordem 2 é:
Subtraindo de :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz para obter o polinômio característico:
Vamos multiplicar os termos:
E:
Substituindo de volta no determinante:
Portanto, o polinômio característico é:

Passo 5

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica :
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Onde , e .
Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo ( ), não há soluções reais para . Portanto, os autovalores são números complexos.

Passo 6

Vamos calcular os autovalores complexos:

Resposta

O polinômio característico da matriz é e os seus autovalores são e .

Exercícios relacionados

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Sejam , com . Mostre que se , então . Mostre, com um exemplo, que a recíproca é falsa.
Sejam as matrizes , em que , e em que . Determine:
Determine e , de modo que a matriz abaixo seja identidade.
Sejam , com , e , para alguma base de . Mostre que:
(b) Se é ímpar e , então possui pelo menos um autovalor negativo.