Determine e , de modo que a matriz abaixo seja identidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz que precisa se tornar a matriz identidade. A matriz identidade é aquela que tem 1 na diagonal principal e 0 nas demais posições. Então, vamos precisar ajustar os valores de e na matriz para que ela fique igual à matriz identidade. Para isso, vamos comparar cada elemento de com a matriz identidade e criar equações para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fica a matriz identidade 2x2:
Então, queremos que:

Passo 3

Agora, vamos igualar cada elemento correspondente de e . Isso nos dá um sistema de equações:
  1. (elemento da posição (1,1))
  2. (elemento da posição (1,2))
  3. (elemento da posição (2,1))
  4. (elemento da posição (2,2))

Passo 4

Vamos começar resolvendo a equação mais simples, que é:
Isso já nos dá o valor de .

Passo 5

Além disso, temos:
Como , essa equação também é satisfeita. Então, concluímos que .

Passo 6

Agora, vamos resolver a primeira equação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Vamos fatorar ou usar a fórmula quadrática para encontrar .

Passo 7

A equação quadrática pode ser fatorada assim:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 8

Agora, vamos verificar essas soluções na quarta equação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Vamos ver se ou satisfazem essa equação.

Passo 9

Para :
Não funciona.
Para :
Funciona!

Passo 10

Então, a única solução que satisfaz todas as equações é:

Resposta

Os valores são e .

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Sejam , com . Mostre que se , então . Mostre, com um exemplo, que a recíproca é falsa.
Sejam , com , e , para alguma base de . Mostre que:
(b) Se é ímpar e , então possui pelo menos um autovalor negativo.
Dados os vetores e , calcular:
Calcule .