Determine
e
, de modo que a matriz abaixo seja identidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz
que precisa se tornar a matriz identidade. A matriz identidade é aquela que tem 1 na diagonal principal e 0 nas demais posições. Então, vamos precisar ajustar os valores de
e
na matriz
para que ela fique igual à matriz identidade. Para isso, vamos comparar cada elemento de
com a matriz identidade e criar equações para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como fica a matriz identidade
2x2:
Então, queremos que:
Passo 3
Agora, vamos igualar cada elemento correspondente de
e
. Isso nos dá um sistema de equações:
-
(elemento da posição (1,1)) -
(elemento da posição (1,2)) -
(elemento da posição (2,1)) -
(elemento da posição (2,2))
Passo 4
Vamos começar resolvendo a equação mais simples, que é:
Isso já nos dá o valor de
.
Passo 5
Além disso, temos:
Como
, essa equação também é satisfeita. Então, concluímos que
.
Passo 6
Agora, vamos resolver a primeira equação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Vamos fatorar ou usar a fórmula quadrática para encontrar
.
Passo 7
A equação quadrática
pode ser fatorada assim:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 8
Agora, vamos verificar essas soluções na quarta equação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Vamos ver se
ou
satisfazem essa equação.
Passo 9
Para
:
Não funciona.
Para
:
Funciona!
Passo 10
Então, a única solução que satisfaz todas as equações é:
Resposta
Os valores são
e
.
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Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear
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Sejam , com
. Mostre que se
, então
. Mostre, com um exemplo, que a recíproca é falsa.
Sejam
Sejam
, com
, e
, para alguma base
de
. Mostre que:
(b) Se é ímpar e
, então
possui pelo menos um autovalor negativo.
(b) Se
Dados os vetores
e
, calcular:
Calcule .
Calcule