11.)
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma somatória infinita que começa no
e vai até o infinito da expressão
. Esse problema está relacionado ao estudo de séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre si. Para resolver, vamos identificar essa razão e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da somatória:
Agora, a somatória fica:
Passo 3
Reconhecemos que essa é uma série geométrica com razão
. Como
, sabemos que a série converge e podemos usar a fórmula da soma da série geométrica infinita.
Passo 4
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita que começa no
é:
Mas nossa série começa no
, então precisamos ajustar a fórmula.
Passo 5
Podemos reescrever a somatória começando do zero e subtrair os primeiros dois termos (
e
):
Substituindo
:
Passo 6
Calculando cada parte:
Então:
Simplificando:
Passo 7
Para subtrair as frações, encontramos um denominador comum, que é
(produto de
):
Resposta
Portanto, a soma da série é: