11.) sumn=2^infty 2^2 n 5^-3 n

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma somatória infinita que começa no e vai até o infinito da expressão . Esse problema está relacionado ao estudo de séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre si. Para resolver, vamos identificar essa razão e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da somatória:
2^2n cdot 5^-3n = (2^2)^n cdot (5^-3)^n = 4^n cdot (1125)^n = (4125)^n
Agora, a somatória fica:
sumn=2^infty ( 4125 )^n

Passo 3

Reconhecemos que essa é uma série geométrica com razão . Como , sabemos que a série converge e podemos usar a fórmula da soma da série geométrica infinita.

Passo 4

A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita que começa no S = sumn=0^infty r^n = 11 - r é:
Mas nossa série começa no , então precisamos ajustar a fórmula.

Passo 5

Podemos reescrever a somatória começando do zero e subtrair os primeiros dois termos ( sumn=2^infty r^n = sumn=0^infty r^n - r^0 - r^1 e S = 11 - 4125 - 1 - 4125 ):
Substituindo :

Passo 6

Calculando cada parte:
11 - 4125 = 1121125 = 125121
Então:
S = 125121 - 1 - 4125
Simplificando:
S = 125121 - 121121 - 4125 = 4121 - 4125

Passo 7

Para subtrair as frações, encontramos um denominador comum, que é 4121 - 4125 = 4 times 12515125 - 4 times 12115125 = 500 - 48415125 = 1615125 (produto de ):

Resposta

Portanto, a soma da série é:
1615125 approx 0,001058

Exercícios relacionados