Considere a região R limitada por y = x^2, y = 2 x. Escreva a região R como uma região do Tipo I.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região que é limitada pelas curvas e . Nosso objetivo aqui é escrever essa região como uma região do Tipo I. Isso faz parte do estudo de integrais duplas, onde as regiões Tipo I são aquelas onde, para cada valor de , o varia entre duas funções. Para resolver isso, a gente vai precisar entender onde as duas curvas se encontram e definir os limites de e de forma adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas e se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :
Então, as soluções são e . Isso significa que as curvas se cruzam nos pontos onde e .

Passo 4

Com os pontos de interseção encontrados, sabemos que a região está entre e . Agora, para cada valor de nesse intervalo, o varia da curva inferior até a curva superior .

Passo 5

Então, para escrever a região como uma região do Tipo I, a gente estrutura os limites de integração da seguinte forma:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de a .

Resposta

A região como uma região do Tipo I é dada por:

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