11 - (UDESC-SC) Em uma partida de basquete, um jogador tem direito a realizar dois lances livres. O centro da cesta está situado a uma distância de da linha de lançamento e a uma altura de do solo, conforme a figura abaixo. A bola é lançada sempre a uma altura de do solo. No primeiro lançamento, a bola é lançada com velocidade de , formando um ângulo de com a horizontal, e não atinge a cesta. No segundo lançamento, a bola é lançada com uma velocidade desconhecida, formando um ângulo de com a horizontal, e atinge a cesta.
Dados: .
b) Demonstre que a bola não atinge a cesta no primeiro lançamento.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Estamos analisando um lançamento de bola de basquete. No primeiro lançamento, a bola é lançada com uma velocidade de e um ângulo de , a partir de uma altura de em direção a uma cesta que está a de distância horizontal e a de altura. O objetivo é demonstrar que, nesse primeiro lançamento, a bola não atinge a cesta.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de movimento de projéteis da cinemática, que envolvem calcular a trajetória da bola lançada. Precisaremos das equações que descrevem a posição horizontal e vertical da bola ao longo do tempo, levando em conta a velocidade inicial, o ângulo de lançamento e a aceleração da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bola nas suas componentes horizontal ( ) e vertical ( ) usando as funções trigonométricas fornecidas:

Passo 3

Agora, vamos determinar o tempo que a bola leva para percorrer a distância horizontal até a cesta. Usamos a equação do movimento horizontal:
Queremos que , então:

Passo 4

Com o tempo que a bola leva para atingir a posição horizontal da cesta, vamos calcular a altura da bola nesse instante usando a equação do movimento vertical:
Onde:
  • (altura inicial)
  • (aceleração da gravidade)
Substituindo os valores:
Calculando cada parte:
Então:

Resposta

No momento em que a bola alcança a posição horizontal da cesta ( ), sua altura é aproximadamente , que está bem abaixo da altura da cesta ( ). Portanto, a bola não atinge a cesta no primeiro lançamento.

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