11 - (UDESC-SC) Em uma partida de basquete, um jogador tem direito a realizar dois lances livres. O centro da cesta está situado a uma distância de 4,0 m da linha de lançamento e a uma altura de 3,0 m do solo, conforme a figura abaixo. A bola é lançada sempre a uma altura de 2,0 m do solo. No primeiro lançamento, a bola é lançada com velocidade de 5,0 m / s, formando um ângulo de 30^circ com a horizontal, e não atinge a cesta. No segundo lançamento, a bola é lançada com uma velocidade desconhecida, formando um ângulo de 30^circ com a horizontal, e atinge a cesta.
Dados: cos 30^circ=0,86 ; sen 30^circ=0,50 ; tan 30^circ=0,57 ; cos 230^circ=0,75.
b) Demonstre que a bola não atinge a cesta no primeiro lançamento.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Estamos analisando um lançamento de bola de basquete. No primeiro lançamento, a bola é lançada com uma velocidade de e um ângulo de , a partir de uma altura de em direção a uma cesta que está a de distância horizontal e a de altura. O objetivo é demonstrar que, nesse primeiro lançamento, a bola não atinge a cesta.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de movimento de projéteis da cinemática, que envolvem calcular a trajetória da bola lançada. Precisaremos das equações que descrevem a posição horizontal e vertical da bola ao longo do tempo, levando em conta a velocidade inicial, o ângulo de lançamento e a aceleração da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bola nas suas componentes horizontal ( v0x = v0 cdot cos(theta) = 5,0 m/s cdot 0,86 = 4,3 m/s ) e vertical ( v0y = v0 cdot sin(theta) = 5,0 m/s cdot 0,50 = 2,5 m/s ) usando as funções trigonométricas fornecidas:

Passo 3

Agora, vamos determinar o tempo que a bola leva para percorrer a distância horizontal até a cesta. Usamos a equação do movimento horizontal:
x = v0x cdot t
Queremos que 4,0 m = 4,3 m/s cdot t implies t = 4,04,3 approx 0,930 s , então:

Passo 4

Com o tempo que a bola leva para atingir a posição horizontal da cesta, vamos calcular a altura da bola nesse instante usando a equação do movimento vertical:
y = y0 + v0y cdot t - 12 g t^2
Onde:
  • y = 2,0 m + 2,5 m/s cdot 0,930 s - 12 cdot 9,8 m/s^2 cdot (0,930 s)^2 (altura inicial)
  • 2,5 cdot 0,930 approx 2,325 m (aceleração da gravidade)
Substituindo os valores:
12 cdot 9,8 cdot 0,930^2 approx 4,9 cdot 0,8649 approx 4,241 m
Calculando cada parte:
y = 2,0 + 2,325 - 4,241 approx 0,084 m
Então:

Resposta

No momento em que a bola alcança a posição horizontal da cesta ( ), sua altura é aproximadamente , que está bem abaixo da altura da cesta ( ). Portanto, a bola não atinge a cesta no primeiro lançamento.

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