11 - (UDESC-SC) Em uma partida de basquete, um jogador tem direito a realizar dois lances livres. O centro da cesta está situado a uma distância de
da linha de lançamento e a uma altura de
do solo, conforme a figura abaixo. A bola é lançada sempre a uma altura de
do solo. No primeiro lançamento, a bola é lançada com velocidade de
, formando um ângulo de
com a horizontal, e não atinge a cesta. No segundo lançamento, a bola é lançada com uma velocidade desconhecida, formando um ângulo de
com a horizontal, e atinge a cesta.
Dados:
.
b) Demonstre que a bola não atinge a cesta no primeiro lançamento.
Dados:
b) Demonstre que a bola não atinge a cesta no primeiro lançamento.
Passo 1
Vamos resumir o problema: Estamos analisando um lançamento de bola de basquete. No primeiro lançamento, a bola é lançada com uma velocidade de
e um ângulo de
, a partir de uma altura de
em direção a uma cesta que está a
de distância horizontal e a
de altura. O objetivo é demonstrar que, nesse primeiro lançamento, a bola não atinge a cesta.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de movimento de projéteis da cinemática, que envolvem calcular a trajetória da bola lançada. Precisaremos das equações que descrevem a posição horizontal e vertical da bola ao longo do tempo, levando em conta a velocidade inicial, o ângulo de lançamento e a aceleração da gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bola nas suas componentes horizontal (
) e vertical (
) usando as funções trigonométricas fornecidas:
Passo 3
Agora, vamos determinar o tempo que a bola leva para percorrer a distância horizontal até a cesta. Usamos a equação do movimento horizontal:
Queremos que
, então:
Passo 4
Com o tempo que a bola leva para atingir a posição horizontal da cesta, vamos calcular a altura da bola nesse instante usando a equação do movimento vertical:
Onde:
-
(altura inicial) -
(aceleração da gravidade)
Substituindo os valores:
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
No momento em que a bola alcança a posição horizontal da cesta (
), sua altura é aproximadamente
, que está bem abaixo da altura da cesta (
). Portanto, a bola não atinge a cesta no primeiro lançamento.