Um zagueiro de futebol norte-americano lança uma bola em direção a um receptor com uma velocidade escalar inicial de 20,0 m / s, a um ângulo de 30^circ acima da horizontal. Nesse instante, o receptor está a 20,0 m do zagueiro. Em que direção e com que velocidade escalar constante deve correr o receptor para alcançar a bola no nível em que ela foi lançada?

Passo 1

Beleza, bora entender o que a questão tá pedindo! Temos um zagueiro que lança a bola com uma velocidade inicial de num ângulo de acima da horizontal. No mesmo instante, o receptor está a de distância. A pergunta é: em que direção e com que velocidade o receptor precisa correr para pegar a bola no mesmo nível em que ela foi lançada.
Aqui, vamos usar conceitos de movimento projetil e cinemática para resolver o problema. Precisamos calcular o tempo que a bola vai levar para voltar ao nível inicial e, com isso, determinar a velocidade e direção que o receptor deve ter para estar no lugar certo na hora certa.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial da bola nas componentes horizontal e vertical. A velocidade horizontal ( v0x = v0 cdot cos(theta) ) e vertical ( v0y = v0 cdot sin(theta) ) podem ser calculadas usando funções trigonométricas:
v0x = 20,0 cdot cos(30^circ) approx 20,0 cdot 0,8660 approx 17,32 , m/s
v0y = 20,0 cdot sin(30^circ) = 20,0 cdot 0,5 = 10,0 , m/s
Onde:
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos calcular o tempo que a bola leva para subir e depois descer de volta ao nível inicial. No movimento vertical, a bola sobe até parar momentaneamente e depois volta. O tempo total de voo ( t = 2 cdot v0yg ) pode ser encontrado usando a fórmula:
t = 2 cdot 10,09,8 approx 20,09,8 approx 2,04 , s
Onde é a aceleração da gravidade.
Substituindo os valores:
Então, a bola estará no ar por aproximadamente 2,04 segundos.

Passo 4

Vamos determinar agora a distância horizontal que a bola percorre durante esse tempo. Como não tem aceleração horizontal (ignorando o arrasto do ar), a distância horizontal ( d = v0x cdot t ) é:
d = 17,32 cdot 2,04 approx 35,3 , m
Substituindo os valores:
A bola vai percorrer cerca de 35,3 metros horizontalmente.

Passo 5

O receptor estava inicialmente a 20,0 metros do zagueiro. Para interceptar a bola, ele precisa percorrer a distância adicional que a bola vai além dos 20 metros iniciais. Essa distância extra ( dextra = d - 20,0 = 35,3 - 20,0 = 15,3 , m ) é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a velocidade que o receptor precisa ter para percorrer esses 15,3 metros no mesmo tempo que a bola está no ar (2,04 segundos). A velocidade ( vr = dextrat = 15,32,04 approx 7,5 , m/s ) é:

Passo 7

Quanto à direção, já que a bola foi lançada a acima da horizontal, a componente horizontal está na direção em que a bola está se movendo. Portanto, o receptor deve correr na mesma direção horizontal da bola para interceptá-la.

Resposta

O receptor deve correr na direção horizontal com uma velocidade constante de aproximadamente para alcançar a bola no nível em que foi lançada.

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