Um operário, na cumeeira de um telhado, deixa cair um martelo que desliza telhado abaixo com velocidade constante de 4,0 m / s. A inclinação do telhado é de 30^circ e o beiral está a 10 m do solo. O mestre de obras, que tem 1,8 m de altura, está em pé no solo, a uma distância horizontal de 4,0 m do beiral, numa posição que coincide com a trajetória do martelo em queda. (a) Ele será atingido pelo martelo ? Se sim, onde o martelo poderá atingi-lo ? (b) Se o mestre de obras perceber a tempo o martelo vindo em sua direção e se abaixar, qual a distância horizontal que o martelo percorre depois de cair pelo beiral e chegar ao solo ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um operário no topo de um telhado inclinado a 30 graus, deixando cair um martelo que desliza pelo telhado com velocidade constante de . O beiral está a 10 metros do solo. Um mestre de obras, que tem 1,8 metros de altura, está no chão, a 4 metros horizontalmente do beiral, exatamente na trajetória do martelo.
Conteúdo da matéria: Cinemática, movimento em duas dimensões, componentes de velocidade e queda livre.
O que precisamos: Entender como o martelo se move tanto ao deslizar pelo telhado quanto ao cair, calcular tempos e posições para responder se o mestre será atingido e, se sim, onde. Para a parte (b), precisamos calcular a distância horizontal que o martelo percorre após sair do beiral até atingir o solo, considerando que o mestre se abaixa.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a descida do martelo pelo telhado. Como o telhado está inclinado a h = L cdot sin(theta) e o martelo desliza com velocidade constante de t = dv = 20 , m4,0 , m/s = 5,0 , s , precisamos calcular o tempo que o martelo leva para percorrer os 10 metros verticais até o beiral.
Teoria aplicada: Velocidade constante , onde é a distância e é o tempo.
No entanto, como a descida é inclinada, precisamos relacionar a distância ao longo do telhado com a altura vertical.
A altura vertical e a distância ao longo do telhado estão relacionadas pelo ângulo de inclinação:
Onde .
Então, .
Agora, usando a fórmula da velocidade:
Então, o martelo leva 5 segundos para chegar ao beiral.

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento do martelo após deixar o beiral e cair verticalmente até o solo.
Teoria aplicada: Queda livre com aceleração da gravidade h = 12 g tf^2 .
A altura do beiral é 10 metros, e o mestre de obras está no solo, a 4 metros horizontalmente do beiral. Precisamos ver se o martelo, após atingir o beiral, cai diretamente sobre o mestre.
O tempo de queda livre tf = raiz2hg = raiz2 cdot 10 , m9,8 , m/s^2 approx 1,43 , s pode ser calculado pela fórmula:
Resolvendo para :
Durante esse tempo, o martelo cai verticalmente, mas o mestre está 4 metros horizontalmente do beiral. Precisamos verificar se o martelo alcança a posição do mestre nesse intervalo de tempo.

Passo 4

Vamos calcular a posição horizontal do martelo após o tempo de queda ttotal = ttelhado + tf = 5,0 , s + 1,43 , s = 6,43 , s .
Teoria aplicada: Movimento horizontal com velocidade constante.
Sabemos que o tempo total desde a soltura até o impacto seria o tempo para descer pelo telhado mais o tempo de queda:
O mestre está a 4 metros horizontalmente do beiral. Vamos verificar se o martelo está na mesma posição horizontal que o mestre no tempo .
No momento em que o martelo chega ao beiral (após 5 segundos), ele começa a cair verticalmente. Portanto, a posição horizontal do martelo permanece alinhada com o beiral durante a queda. O mestre está exatamente nessa posição.

Passo 5

Agora, precisamos considerar a altura do mestre de obras, que é de 1,8 metros. Se o martelo cai de 10 metros, chega ao solo após 1,43 segundos e a uma altura de 1,8 metros, precisamos verificar se o martelo passa por essa altura.
A altura do martelo no tempo h(t) = hbeiral - 12 g t^2 após iniciar a queda pode ser dada por:
1,8 = 10 - 12 cdot 9,8 cdot t^2
Queremos encontrar o tempo 12 cdot 9,8 cdot t^2 = 10 - 1,8 = 8,2 quando t^2 = 16,49,8 approx 1,673 , s^2 :
t approx 1,29 , s
Haverá uma colisão com o mestre a 1,29 segundos após o início da queda, quando o martelo está a 1,8 metros de altura.

Resposta

(a) Sim, o mestre de obras será atingido pelo martelo a uma altura de 1,8 metros acima do solo.
(b) Se o mestre de obras se abaixar a tempo, o martelo continuará caindo até o solo. A distância horizontal que ele percorre após sair do beiral é 4,0 metros.

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