Um webdesigner (projetista de páginas da Internet) cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição r(t)=[4,0 cm+(2,5 cm / s^2) t^2] imath+[(5,0 cm / s) t] jmath. (a) Ache módulo, a direção e o sentido da velocidade instantânea para t1=0 s e t2=2 s. (b) Faça um desenho da trajetória do ponto no intervalo entre t1=0 s e t2=2 s e mostre as velocidades calculadas em (a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento vetorial! O enunciado fala sobre a posição de um ponto na tela do computador em função do tempo, usando vetores. A matéria envolvida é Cinemática Vetorial, que estuda movimentos com direção e sentido. Para resolver, vamos precisar calcular a velocidade instantânea, que é a derivada da posição em relação ao tempo, e depois encontrar seu módulo, direção e sentido nos instantes e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição do ponto em função do tempo. A posição é dada por:
r(t) = [4,0 , cm + (2,5 , cms^2) t^2] imath + [(5,0 , cms) t] jmath
Aqui, v(t) = dr(t)dt e são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.
Para achar a velocidade instantânea, precisamos derivar em relação ao tempo :

Passo 3

Vamos calcular a derivada para cada componente do vetor posição:
Para a componente ddt [4,0 + 2,5 t^2] = 0 + 2 times 2,5 t = 5 t , cm/s :
ddt [5,0 t] = 5,0 , cm/s
Para a componente v(t) = (5 t) imath + 5,0 jmath , cm/s :
Então, a velocidade em função do tempo é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade nos instantes v(0) = (5 times 0) imath + 5,0 jmath = 0 imath + 5,0 jmath , cm/s e v(2) = (5 times 2) imath + 5,0 jmath = 10 imath + 5,0 jmath , cm/s .
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos encontrar o módulo, a direção e o sentido dessas velocidades.
Módulo da velocidade ( |v| = raiz(vx)^2 + (vy)^2 ):
theta = tan^-1(vyvx)
Direção ( ):
Sentido:
Indica para qual direção o vetor está apontando no plano.
Vamos aplicar isso para cada instante.

Passo 6

Para v(0) = 0 imath + 5,0 jmath , cm/s :
|v(0)| = raiz0^2 + 5,0^2 = 5,0 , cm/s
  • Módulo:
v(2) = 10 imath + 5,0 jmath , cm/s
  • Direção:
Como |v(2)| = raiz10^2 + 5,0^2 = raiz100 + 25 = raiz125 approx 11,18 , cm/s , a direção é vertical, ou seja, theta = tan^-1(5,010) = tan^-1(0,5) approx 26,57^circ .
  • Sentido:
Positiva na direção de , ou seja, para cima.
Para :
  • Módulo:
  • Direção:
  • Sentido:
Positiva nas direções de (para a direita) e (para cima), formando um ângulo de aproximadamente acima da horizontal.

Resposta

A velocidade instantânea nos instantes solicitados é:
(a)
  • Em :
    • Módulo:
    • Direção: (vertical para cima)
    • Sentido: Para cima
  • Em :
    • Módulo:
    • Direção: acima da horizontal
    • Sentido: Para a direita e para cima

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