Um webdesigner (projetista de páginas da Internet) cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição . (a) Ache módulo, a direção e o sentido da velocidade instantânea para e . (b) Faça um desenho da trajetória do ponto no intervalo entre e e mostre as velocidades calculadas em (a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento vetorial! O enunciado fala sobre a posição de um ponto na tela do computador em função do tempo, usando vetores. A matéria envolvida é Cinemática Vetorial, que estuda movimentos com direção e sentido. Para resolver, vamos precisar calcular a velocidade instantânea, que é a derivada da posição em relação ao tempo, e depois encontrar seu módulo, direção e sentido nos instantes e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição do ponto em função do tempo. A posição é dada por:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.
Para achar a velocidade instantânea, precisamos derivar em relação ao tempo :

Passo 3

Vamos calcular a derivada para cada componente do vetor posição:
Para a componente :
Para a componente :
Então, a velocidade em função do tempo é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade nos instantes e .
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos encontrar o módulo, a direção e o sentido dessas velocidades.
Módulo da velocidade ( ):
Direção ( ):
Sentido:
Indica para qual direção o vetor está apontando no plano.
Vamos aplicar isso para cada instante.

Passo 6

Para :
  • Módulo:
  • Direção:
Como , a direção é vertical, ou seja, .
  • Sentido:
Positiva na direção de , ou seja, para cima.
Para :
  • Módulo:
  • Direção:
  • Sentido:
Positiva nas direções de (para a direita) e (para cima), formando um ângulo de aproximadamente acima da horizontal.

Resposta

A velocidade instantânea nos instantes solicitados é:
(a)
  • Em :
    • Módulo:
    • Direção: (vertical para cima)
    • Sentido: Para cima
  • Em :
    • Módulo:
    • Direção: acima da horizontal
    • Sentido: Para a direita e para cima

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