Um webdesigner (projetista de páginas da Internet) cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição
. (a) Ache módulo, a direção e o sentido da velocidade instantânea para
e
. (b) Faça um desenho da trajetória do ponto no intervalo entre
e
e mostre as velocidades calculadas em (a).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento vetorial! O enunciado fala sobre a posição de um ponto na tela do computador em função do tempo, usando vetores. A matéria envolvida é Cinemática Vetorial, que estuda movimentos com direção e sentido. Para resolver, vamos precisar calcular a velocidade instantânea, que é a derivada da posição em relação ao tempo, e depois encontrar seu módulo, direção e sentido nos instantes
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição do ponto em função do tempo. A posição é dada por:
Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.
Para achar a velocidade instantânea, precisamos derivar
em relação ao tempo
:
Passo 3
Vamos calcular a derivada para cada componente do vetor posição:
Para a componente
:
Para a componente
:
Então, a velocidade em função do tempo é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade nos instantes
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o módulo, a direção e o sentido dessas velocidades.
Módulo da velocidade (
):
Direção (
):
Sentido:
Indica para qual direção o vetor está apontando no plano.
Vamos aplicar isso para cada instante.
Passo 6
Para
:
- Módulo:
- Direção:
Como
, a direção é vertical, ou seja,
.
- Sentido:
Positiva na direção de
, ou seja, para cima.
Para
:
- Módulo:
- Direção:
- Sentido:
Positiva nas direções de
(para a direita) e
(para cima), formando um ângulo de aproximadamente
acima da horizontal.
Resposta
A velocidade instantânea nos instantes solicitados é:
(a)
-
Em
: - Módulo:
- Direção:
(vertical para cima) - Sentido: Para cima
- Módulo:
-
Em
: - Módulo:
- Direção:
acima da horizontal - Sentido: Para a direita e para cima
- Módulo:
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