x^2 * d^2y/dx^2 + p*x * dy/dx + q*y = 0, para x > 0
onde p e q são constantes. Mostre que:
(a) y(x) = x^r é solução da EDO de Euler-Cauchy e que as soluções satisfazem r(r-1) + p*r + q = 0 com r1,2 = (-p + 1 +- raiz((p - 1)^2 - 4q)) / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que é uma solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO) de Euler-Cauchy e que os valores de satisfazem a equação quadrática . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de Euler-Cauchy e como substituí-las usando funções de potência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO de Euler-Cauchy. Esse tipo de equação tem a forma geral:
onde e são as primeiras e segundas derivadas de em relação a . O objetivo é encontrar funções que satisfaçam essa equação.

Passo 3

A dica do exercício é tentar uma solução do tipo . Isso significa que assumimos que a solução pode ser expressa como uma potência de . Vamos então calcular as derivadas dessa função.

Passo 4

Calculando a primeira derivada de :
E a segunda derivada:

Passo 5

Agora, vamos substituir , e na equação original:
Simplificando cada termo:

Passo 6

Agora, podemos fatorar em comum:
Como não é zero para , a expressão dentro dos colchetes deve ser igual a zero:

Passo 7

Essa é uma equação quadrática em :
Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:

Resposta

Mostramos que é uma solução da EDO de Euler-Cauchy e que os valores de satisfazem a equação com as soluções dadas por:

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