onde
e
são constantes. Mostre que:
(a)
é solução da EDO de Euler-Cauchy e que as soluções satisfazem
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que
é uma solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO) de Euler-Cauchy e que os valores de
satisfazem a equação quadrática
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de Euler-Cauchy e como substituí-las usando funções de potência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO de Euler-Cauchy. Esse tipo de equação tem a forma geral:
onde
e
são as primeiras e segundas derivadas de
em relação a
. O objetivo é encontrar funções
que satisfaçam essa equação.
Passo 3
A dica do exercício é tentar uma solução do tipo
. Isso significa que assumimos que a solução pode ser expressa como uma potência de
. Vamos então calcular as derivadas dessa função.
Passo 4
Calculando a primeira derivada de
:
E a segunda derivada:
Passo 5
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
Passo 6
Agora, podemos fatorar
em comum:
Como
não é zero para
, a expressão dentro dos colchetes deve ser igual a zero:
Passo 7
Essa é uma equação quadrática em
:
Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Resposta
Mostramos que
é uma solução da EDO de Euler-Cauchy e que os valores de
satisfazem a equação
com as soluções dadas por: