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Utilize a mudança de coordenadas: lx=r cos theta y=r sen theta, r, theta in R (polares), para calcular os seguintes limites, caso existam
a) lim (x, y) (0,0) x y^2x^2+y^2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um limite de uma função de duas variáveis:
lim (x, y) (0,0) x y^2x^2+y^2
O conteúdo que vamos usar aqui é a mudança para coordenadas polares, onde expressamos x e y em termos de r e theta. Para resolver isso, precisamos substituir x = r cos theta e na expressão do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x e y na função usando as coordenadas polares:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
Denominador:
Lembrando que , temos:

Passo 4

Substituindo o numerador e o denominador de volta na fração, temos:

Passo 5

Agora, para encontrar o limite quando (x, y) (0,0), em coordenadas polares isso corresponde a r 0. Então, precisamos calcular:

Passo 6

Observe que tanto cos theta quanto são funções limitadas. Especificamente:
Portanto:

Passo 7

Como r 0, então |r| 0. Assim, temos:

Resposta

O limite é 0.

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