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Utilize a mudança de coordenadas:
(polares), para calcular os seguintes limites, caso existam
a)
Utilize a mudança de coordenadas:
a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um limite de uma função de duas variáveis:
O conteúdo que vamos usar aqui é a mudança para coordenadas polares, onde expressamos
e
em termos de
e
. Para resolver isso, precisamos substituir
e na expressão do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
e
na função usando as coordenadas polares:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
Denominador:
Lembrando que , temos:
Passo 4
Substituindo o numerador e o denominador de volta na fração, temos:
Passo 5
Agora, para encontrar o limite quando
, em coordenadas polares isso corresponde a
. Então, precisamos calcular:
Passo 6
Observe que tanto
quanto são funções limitadas. Especificamente:
Portanto:
Passo 7
Como
, então
. Assim, temos:
Resposta
O limite é
.