Escrevendo
, escreva uma série de Maclaurin para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin para a função
. Isso significa que vamos expandir
em torno de
usando uma série de potências. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Maclaurin e como expandir funções exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, lembramos que podemos reescrever
de uma forma mais amigável para trabalhar com séries:
Aqui, usamos a propriedade dos logaritmos que diz
.
Passo 3
Agora, nosso objetivo é expandir
em uma série de Maclaurin. Sabemos que a série de Maclaurin para
é:
Onde
no nosso caso.
Passo 4
Vamos substituir
por
na série acima:
Então, a série de Maclaurin para
começa assim.
Passo 5
Para simplificar e deixar a série mais apresentável, podemos expandir os termos envolvendo
. Sabemos que perto de
,
pode ser expandido como:
Mas no nosso caso,
, então precisamos ajustar a expansão para
próximo a 0.
Passo 6
Entretanto, para simplificar, vamos considerar apenas os primeiros termos da série de Maclaurin para uma aproximação inicial:
Essa é a série de Maclaurin para
, expandida até o terceiro termo.
Resposta
A série de Maclaurin para
é dada por: