Escrevendo x^x = e^(ln(x^x)) = e^(x ln(x)), escreva uma série de Maclaurin para x^x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin para a função . Isso significa que vamos expandir em torno de usando uma série de potências. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Maclaurin e como expandir funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que podemos reescrever de uma forma mais amigável para trabalhar com séries:
Aqui, usamos a propriedade dos logaritmos que diz .

Passo 3

Agora, nosso objetivo é expandir em uma série de Maclaurin. Sabemos que a série de Maclaurin para é:
Onde no nosso caso.

Passo 4

Vamos substituir por na série acima:
Então, a série de Maclaurin para começa assim.

Passo 5

Para simplificar e deixar a série mais apresentável, podemos expandir os termos envolvendo . Sabemos que perto de , pode ser expandido como:
Mas no nosso caso, , então precisamos ajustar a expansão para próximo a 0.

Passo 6

Entretanto, para simplificar, vamos considerar apenas os primeiros termos da série de Maclaurin para uma aproximação inicial:
Essa é a série de Maclaurin para , expandida até o terceiro termo.

Resposta

A série de Maclaurin para é dada por:

Exercícios relacionados