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Considere a função f(x, y)=cln (3 x^2-x^2 y^2+3 y^2x^2+y^2)0,(x, y) neq(0,0) A ,(x, y)=(0,0). Qual deve ser o valor de A, para
que f seja continua na origem?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre continuidade de uma função em dois pontos, ou seja, queremos descobrir o valor de para que a função seja contínua na origem . Para isso, vamos precisar entender o conceito de limite e continuidade em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa a função ser contínua em um ponto. Uma função lim(x,y) to (a,b) f(x, y) = f(a, b) é contínua no ponto lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = A se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos que:

Passo 3

Vamos então calcular o limite de f(x, y) = ln ( 3x^2 - x^2 y^2 + 3 y^2x^2 + y^2 ) quando 3x^2 - x^2 y^2 + 3 y^2x^2 + y^2 = x^2(3 - y^2) + 3y^2x^2 + y^2 se aproxima de . A função dada é:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro do logaritmo:

Passo 4

Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
x^2(3 - y^2)x^2 + y^2 + 3y^2x^2 + y^2
Isso pode ser reescrito como:
3 cdot x^2x^2 + y^2 - y^2 cdot x^2x^2 + y^2 + 3 cdot y^2x^2 + y^2

Passo 5

Observamos que:
x^2x^2 + y^2 + y^2x^2 + y^2 = 1
Portanto, podemos simplificar a expressão:
3 cdot ( x^2x^2 + y^2 + y^2x^2 + y^2 ) - y^2 cdot x^2x^2 + y^2 = 3 - y^2 cdot x^2x^2 + y^2

Passo 6

Agora, vamos considerar o limite quando 3 - 0 = 3 . Como e tendem a 0, o termo também tende a 0. Assim, a expressão dentro do logaritmo se aproxima de:

Passo 7

Portanto, o limite da função lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = ln(3) quando é:

Resposta

O valor de deve ser para que a função seja contínua na origem.

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