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Considere a função
. Qual deve ser o valor de
, para
que
seja continua na origem?
Considere a função
que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre continuidade de uma função em dois pontos, ou seja, queremos descobrir o valor de
para que a função
seja contínua na origem
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de limite e continuidade em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa a função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos que:
Passo 3
Vamos então calcular o limite de
quando
se aproxima de
. A função dada é:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro do logaritmo:
Passo 4
Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Observamos que:
Portanto, podemos simplificar a expressão:
Passo 6
Agora, vamos considerar o limite quando
. Como
e
tendem a 0, o termo
também tende a 0. Assim, a expressão dentro do logaritmo se aproxima de:
Passo 7
Portanto, o limite da função
quando
é:
Resposta
O valor de
deve ser
para que a função
seja contínua na origem.