Comece com a série sumn=0^infty x^n=11-x,|x|<1, e obtenha a derivada de ambos os lados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série geométrica válida para . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de ambos os lados dessa igualdade. Para isso, vamos precisar saber como derivar uma série termo a termo e aplicar a regra da derivada em funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar o lado esquerdo da equação, que é a soma da série ddx ( sumn=0^infty x^n ) = sumn=0^infty n x^n-1 . Derivar uma série termo a termo significa derivar cada termo individualmente. Então, a derivada de em relação a é . Assim, a derivada do lado esquerdo fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar o lado direito da equação, que é ddx ( 11-x ) = 1(1-x)^2 . Para derivar essa função, usamos a regra da derivada de uma função racional. A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora que temos as derivadas dos dois lados, podemos igualá-las:
sumn=0^infty n x^n-1 = 1(1-x)^2

Resposta

A derivada da s��rie é .

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