Comece com a série
, e obtenha a derivada de ambos os lados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série geométrica
válida para
. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de ambos os lados dessa igualdade. Para isso, vamos precisar saber como derivar uma série termo a termo e aplicar a regra da derivada em funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar o lado esquerdo da equação, que é a soma da série
. Derivar uma série termo a termo significa derivar cada termo individualmente. Então, a derivada de
em relação a
é
. Assim, a derivada do lado esquerdo fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar o lado direito da equação, que é
. Para derivar essa função, usamos a regra da derivada de uma função racional. A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora que temos as derivadas dos dois lados, podemos igualá-las:
Resposta
A derivada da s��rie
é
.