Para cada função abaixo calcule, se possivel, os limites: lim h 0 f(x+h, y)-f(x, y)h e lim h 0 f(x, y+h)-f(x, y)h.
e) f(x, y)=e^x+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa calcular dois limites que, na verdade, representam as derivadas parciais dessa função em relação a e a . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que envolve calcular esses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de limh to 0 f(x+h, y) - f(x, y)h em relação a . Isso significa que vamos ver como a função muda quando aumentamos um pouquinho, mantendo constante. A expressão do limite é:

Passo 3

Substituindo limh to 0 e^(x+h)+y - e^x+yh = limh to 0 e^x+y+h - e^x+yh na expressão:

Passo 4

Fatorando e^x+y cdot limh to 0 e^h - 1h da expressão acima:
Sabemos que (essa é uma propriedade fundamental da função exponencial).

Passo 5

Portanto, a derivada parcial de e^x+y cdot 1 = e^x+y em relação a é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de limh to 0 f(x, y+h) - f(x, y)h em relação a . A ideia é a mesma: ver como a função muda quando aumentamos um pouquinho, mantendo constante. A expressão do limite é:

Passo 7

Substituindo limh to 0 e^x+(y+h) - e^x+yh = limh to 0 e^x+y+h - e^x+yh na expressão:

Passo 8

Assim como antes, fatoramos e^x+y cdot limh to 0 e^h - 1h :
E novamente, sabemos que .

Passo 9

Então, a derivada parcial de e^x+y cdot 1 = e^x+y em relação a é:

Resposta

As derivadas parciais são iguais a tanto em relação a quanto a .

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