Para cada função abaixo calcule, se possivel, os limites:
e
.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa calcular dois limites que, na verdade, representam as derivadas parciais dessa função em relação a
e a
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que envolve calcular esses limites.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que vamos ver como a função muda quando aumentamos
um pouquinho, mantendo
constante. A expressão do limite é:
Passo 3
Substituindo
na expressão:
Passo 4
Fatorando
da expressão acima:
Sabemos que
(essa é uma propriedade fundamental da função exponencial).
Passo 5
Portanto, a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. A ideia é a mesma: ver como a função muda quando aumentamos
um pouquinho, mantendo
constante. A expressão do limite é:
Passo 7
Substituindo
na expressão:
Passo 8
Assim como antes, fatoramos
:
E novamente, sabemos que
.
Passo 9
Então, a derivada parcial de
em relação a
é:
Resposta
As derivadas parciais são iguais a
tanto em relação a
quanto a
.