Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
, com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos mexer aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com coeficientes constantes. Pra resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois ajustar os parâmetros usando as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é uma forma algebraica que nos ajuda a encontrar a solução geral. Para a equação
, a equação característica é:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, temos raízes complexas.
Passo 4
As raízes complexas têm a forma
. Vamos encontrar
e
:
Então, as raízes são
.
Passo 5
Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
. Primeiro, aplicamos
:
Então,
.
Passo 7
Em seguida, precisamos da primeira derivada para aplicar
. Vamos derivar
:
Simplificando:
Substituindo
:
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
23.
23.
Encontre a transformada de Laplace de
, em que
é uma constante real.
Definimos o raio de curvarura de uma curva
num ponto
como sendo
onde
é a curvatura da curva
. Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto
dado das seguintes curvas:
;
(1,0 ponto) Uma função
é chamada homogênea de
-ésimo grau, se
satisfaz a equação
para todo
, onde
é um inteiro positivo e
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Mostre que, se
é homogênea de grau
, então