Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau: , com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos mexer aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com coeficientes constantes. Pra resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois ajustar os parâmetros usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é uma forma algebraica que nos ajuda a encontrar a solução geral. Para a equação , a equação característica é:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, temos raízes complexas.

Passo 4

As raízes complexas têm a forma . Vamos encontrar e :
Então, as raízes são .

Passo 5

Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e :

Passo 6

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de e . Primeiro, aplicamos :
Então, .

Passo 7

Em seguida, precisamos da primeira derivada para aplicar . Vamos derivar :
Simplificando:
Substituindo :
Então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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