Encontre a transformada de Laplace da função dada.
23. f(t) = { t, 0 <= t < 1 1, 1 <= t < infinito }

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício pra encontrar a Transformada de Laplace de uma função que muda de comportamento no tempo. A função dada é:
A matéria envolvida aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil pra resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Vamos precisar entender a definição da Transformada de Laplace e como aplicá-la em funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Para uma função , definida para , a Transformada de Laplace é dada por:
No nosso caso, como a função muda de expressão no ponto , vamos dividir a integral em duas partes: de 0 a 1, onde , e de 1 em diante, onde .

Passo 3

Vamos calcular a Transformada de Laplace em duas partes:
  1. De 0 a 1, onde :
  1. De 1 a infinito, onde :
Então, a Transformada de Laplace total será a soma dessas duas integrais:

Passo 4

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira Integral ( ):
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Calculando os limites:
Agora, calculamos a segunda integral:
Então, juntando tudo:
Segunda Integral ( ):
Essa é uma integral simples de uma função exponencial:

Passo 5

Agora, vamos somar as duas integrais para encontrar a Transformada de Laplace total:
Observamos que os termos e se cancelam:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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