(1,0 ponto) Uma função
é chamada homogênea de
-ésimo grau, se
satisfaz a equação
para todo
, onde
é um inteiro positivo e
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Mostre que, se
é homogênea de grau
, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções homogêneas de grau
. Uma função
é homogênea de grau
se, ao multiplicar as variáveis por um fator
, a função inteira é multiplicada por
. A gente precisa mostrar que, se
é homogênea de grau
, então a derivada parcial de
em relação a
também segue uma certa relação:
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a propriedade de homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser homogênea de grau
. A definição nos diz que:
Isso quer dizer que, se a gente escala
e
por
, a função inteira é escalada por
.
Passo 3
Agora, para encontrar a derivada parcial
, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
.
Primeiro, diferenciando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde a derivada de
em relação a
é
vezes a derivada interna
.
Passo 4
Agora, diferenciando o lado direito da equação
em relação a
:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então a derivada passa direto para
.
Passo 5
Igualando as derivadas dos dois lados:
Agora, queremos isolar
.
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando a potência, já que
.
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
Definimos o raio de curvarura de uma curva
num ponto
como sendo
onde
é a curvatura da curva
. Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto
dado das seguintes curvas:
;
Determine as equações dos planos normal, plano retificador e osculador da curva no ponto indicado:
.
Uma partícula movendo-se começa numa posição inicial
com uma velocidade inicial
. Sua aceleração é
. Determine a sua velocidade e posição no momento
.