(1,0 ponto) Uma função f é chamada homogênea de n-ésimo grau, se f satisfaz a equação
f(t*x, t*y) = t^n * f(x, y)
para todo t, onde n é um inteiro positivo e f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Mostre que, se f é homogênea de grau n, então
f_x(t x, t y) = t^(n-1) f_x(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções homogêneas de grau . Uma função é homogênea de grau se, ao multiplicar as variáveis por um fator , a função inteira é multiplicada por . A gente precisa mostrar que, se é homogênea de grau , então a derivada parcial de em relação a também segue uma certa relação: . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a propriedade de homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser homogênea de grau . A definição nos diz que:
Isso quer dizer que, se a gente escala e por , a função inteira é escalada por .

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada parcial , vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a .
Primeiro, diferenciando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde a derivada de em relação a é vezes a derivada interna .

Passo 4

Agora, diferenciando o lado direito da equação em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então a derivada passa direto para .

Passo 5

Igualando as derivadas dos dois lados:
Agora, queremos isolar .

Passo 6

Dividindo ambos os lados por :
Simplificando a potência, já que .

Resposta

Assim, mostramos que:

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