(1,0 ponto) Uma função é chamada homogênea de -ésimo grau, se satisfaz a equação
para todo , onde é um inteiro positivo e tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Mostre que, se é homogênea de grau , então

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções homogêneas de grau . Uma função é homogênea de grau se, ao multiplicar as variáveis por um fator , a função inteira é multiplicada por . A gente precisa mostrar que, se é homogênea de grau , então a derivada parcial de em relação a também segue uma certa relação: . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a propriedade de homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser homogênea de grau . A definição nos diz que:
Isso quer dizer que, se a gente escala e por , a função inteira é escalada por .

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada parcial , vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a .
Primeiro, diferenciando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde a derivada de em relação a é vezes a derivada interna .

Passo 4

Agora, diferenciando o lado direito da equação em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então a derivada passa direto para .

Passo 5

Igualando as derivadas dos dois lados:
Agora, queremos isolar .

Passo 6

Dividindo ambos os lados por :
Simplificando a potência, já que .

Resposta

Assim, mostramos que:

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onde é a curvatura da curva . Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado das seguintes curvas: ;
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