Definimos o raio de curvarura de uma curva
num ponto
como sendo
onde
é a curvatura da curva
. Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto
dado das seguintes curvas:
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por
e um ponto específico
nessa curva. Queremos encontrar a curvatura e o raio de curvatura nesse ponto
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da curva e aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir para qual valor de
a curva passa pelo ponto
. Vamos igualar as componentes de
a
:
Da primeira equação:
Confirmação com a segunda equação:
Então,
no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada primeira
:
E a derivada segunda
:
Passo 4
A fórmula da curvatura
para uma curva parametrizada por
é dada por:
No caso de curvas no plano, o produto vetorial
resulta em um escalar, então podemos simplificar:
Vamos calcular isso no ponto
.
Passo 5
Substituindo
nas derivadas:
Agora, calculando o numerador da fórmula da curvatura:
E o denominador:
Então, a curvatura é:
Simplificando:
Passo 6
Agora, o raio de curvatura
é simplesmente o inverso da curvatura:
Resposta
No ponto
, a curvatura é
e o raio de curvatura é
.
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23.
23.
(1,0 ponto) Uma função
é chamada homogênea de
-ésimo grau, se
satisfaz a equação
para todo
, onde
é um inteiro positivo e
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Mostre que, se
é homogênea de grau
, então
Determine as equações dos planos normal, plano retificador e osculador da curva no ponto indicado:
.