Definimos o raio de curvarura de uma curva gamma num ponto P como sendo
rho(t) = 1/k(t)
onde k(t) != 0 é a curvatura da curva gamma. Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto P dado das seguintes curvas: γ(t) = (1 + ln(t), 1 + t^2), P = (1, 2);

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por e um ponto específico nessa curva. Queremos encontrar a curvatura e o raio de curvatura nesse ponto P. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da curva e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir para qual valor de t a curva passa pelo ponto . Vamos igualar as componentes de gamma(t) a P:
Da primeira equação:
Confirmação com a segunda equação:
Então, no ponto P.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada primeira :
E a derivada segunda :

Passo 4

A fórmula da curvatura para uma curva parametrizada por t é dada por:
No caso de curvas no plano, o produto vetorial resulta em um escalar, então podemos simplificar:
Vamos calcular isso no ponto .

Passo 5

Substituindo nas derivadas:
Agora, calculando o numerador da fórmula da curvatura:
E o denominador:
Então, a curvatura é:
Simplificando:

Passo 6

Agora, o raio de curvatura é simplesmente o inverso da curvatura:

Resposta

No ponto , a curvatura é e o raio de curvatura é .

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