Definimos o raio de curvarura de uma curva num ponto como sendo
onde é a curvatura da curva . Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado das seguintes curvas: ;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por e um ponto específico nessa curva. Queremos encontrar a curvatura e o raio de curvatura nesse ponto . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da curva e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir para qual valor de a curva passa pelo ponto . Vamos igualar as componentes de a :
Da primeira equação:
Confirmação com a segunda equação:
Então, no ponto .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada primeira :
E a derivada segunda :

Passo 4

A fórmula da curvatura para uma curva parametrizada por é dada por:
No caso de curvas no plano, o produto vetorial resulta em um escalar, então podemos simplificar:
Vamos calcular isso no ponto .

Passo 5

Substituindo nas derivadas:
Agora, calculando o numerador da fórmula da curvatura:
E o denominador:
Então, a curvatura é:
Simplificando:

Passo 6

Agora, o raio de curvatura é simplesmente o inverso da curvatura:

Resposta

No ponto , a curvatura é e o raio de curvatura é .

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23.
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