Encontre a transformada de Laplace de
, em que
é uma constante real.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a transformada de Laplace da função
, onde
é uma constante real. A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa usada em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais, especialmente em sistemas lineares. Para resolver esse problema, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades básicas das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é definida pela seguinte integral:
Aqui,
representa a transformada de Laplace da função
, e
é uma variável complexa.
Passo 3
No nosso caso, a função que queremos transformar é
. Existe uma fórmula padrão para a transformada de Laplace de funções trigonométricas. De acordo com as tabelas de transformadas de Laplace, temos:
Isso significa que, aplicando a definição e resolvendo a integral, chegamos a essa expressão.
Passo 4
Para entender melhor, vamos detalhar um pouco mais. Quando calculamos a transformada de Laplace de
, usamos a identidade trigonométrica para expressar a função em termos de exponenciais complexas e, em seguida, resolvemos a integral resultante. O resultado final simplifica para a expressão que encontramos:
Resposta
A transformada de Laplace de
é
.
Exercícios relacionados
Determine os vetores
e
associados à curva
. Ache as equações dos planos osculadores e normal.
Calcule:
;
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
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