Encontre a transformada de Laplace de , em que é uma constante real.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a transformada de Laplace da função , onde é uma constante real. A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa usada em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais, especialmente em sistemas lineares. Para resolver esse problema, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades básicas das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é definida pela seguinte integral:
Aqui, representa a transformada de Laplace da função , e é uma variável complexa.

Passo 3

No nosso caso, a função que queremos transformar é . Existe uma fórmula padrão para a transformada de Laplace de funções trigonométricas. De acordo com as tabelas de transformadas de Laplace, temos:
Isso significa que, aplicando a definição e resolvendo a integral, chegamos a essa expressão.

Passo 4

Para entender melhor, vamos detalhar um pouco mais. Quando calculamos a transformada de Laplace de , usamos a identidade trigonométrica para expressar a função em termos de exponenciais complexas e, em seguida, resolvemos a integral resultante. O resultado final simplifica para a expressão que encontramos:

Resposta

A transformada de Laplace de é .

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Calcule: ;
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
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