Ar a 110 kPa e 50^circ C escoa para cima através de um duto inclinado com 6 cm de diâmetro a uma vazão de 45 L / s. O diâmetro do duto é reduzido para 4 cm por meio de um redutor. A variação de pressão através do redutor é medida por um manômetro de água. A diferença de elevação entre os dois pontos do tubo onde os dois braços do manômetro estão ligados é de 0,20 m. Determine a altura diferencial entre os níveis de fluido dos dois braços do manômetro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o fluxo de um fluido (provavelmente água) passando por um duto que muda de diâmetro. A gente precisa usar conceitos de hidrodinâmica, especificamente a equação de continuidade e o Princípio de Bernoulli. Vamos precisar entender como a mudança de diâmetro afeta a velocidade e a pressão do fluido, e como um manômetro de água nos ajuda a medir essa diferença de pressão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação de continuidade, que basicamente diz que o produto da área da seção transversal do duto pela velocidade do fluido é constante se não há vazamento. Isso significa que:
A1 cdot v1 = A2 cdot v2
Onde:
  • e são as áreas das secções nos diâmetros 6 cm e 4 cm, respectivamente.
  • e são as velocidades do fluido nessas secções.

Passo 3

Vamos calcular as áreas das duas seções. A área de um círculo é r1 = 62 = 3 cm = 0,03 m , onde A1 = pi cdot (0,03)^2 approx 0,002826 m^2 é o raio.
Para o diâmetro de 6 cm:
r2 = 42 = 2 cm = 0,02 m
A2 = pi cdot (0,02)^2 approx 0,001257 m^2
Para o diâmetro de 4 cm:

Passo 4

Sabemos a vazão v1 = QA1 = 0,0450,002826 approx 15,9 m/s . A vazão também é v2 = QA2 = 0,0450,001257 approx 35,8 m/s , então podemos encontrar as velocidades nas duas seções.
Para a seção 1 (6 cm):
Para a seção 2 (4 cm):

Passo 5

Agora, vamos usar o Princípio de Bernoulli, que relaciona pressão e velocidade do fluido. A equação de Bernoulli simplificada entre os dois pontos é:
P1 + 12 rho v1^2 = P2 + 12 rho v2^2 + De
Aqui, é a variação de pressão adquirida no redutor, que é o que o manômetro está medindo.

Passo 6

Rearranjando a equação para encontrar De:
De
Mas o manômetro mede em termos de altura de coluna de água , usando:
á
Onde:
  • á (densidade da água)
  • (aceleração da gravidade)

Passo 7

Igualando as duas expressões para rhoágua cdot g cdot h = P1 - P2 + 12 rho (v1^2 - v2^2) :
h = P1 - P2 + 12 rho (v1^2 - v2^2)rhoágua cdot g á
Queremos encontrar , então isolamos:
á

Passo 8

Precisamos dos valores de pressão. Sabemos que a pressão inicial é 110 kPa, mas precisamos relacionar isso com a pressão no segundo ponto. Como o manômetro está medindo a diferença, e considerando que P1 - P2 = rhoágua cdot g cdot h - 12 rho (v1^2 - v2^2) é a pressão após a redução, podemos rearranjar:
á
Mas essa abordagem está complicada. Uma forma mais direta é considerar que a diferença de pressão medida pelo manômetro já nos dá á. Assim, podemos calcular diretamente usando a equação de Bernoulli rearranjada.

Passo 9

Vamos calcular De usando as velocidades:
De
Assumindo que a velocidade aumenta após o redutor, a pressão diminui, então:
De

Passo 10

Agora, usamos o manômetro para relacionar essa pressão à altura da coluna de água:
h = Deá

Resposta

A altura diferencial entre os níveis de fluido dos dois braços do manômetro é de aproximadamente 52,55 metros.

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