Ar a 110 kPa e
escoa para cima através de um duto inclinado com 6 cm de diâmetro a uma vazão de
. O diâmetro do duto é reduzido para 4 cm por meio de um redutor. A variação de pressão através do redutor é medida por um manômetro de água. A diferença de elevação entre os dois pontos do tubo onde os dois braços do manômetro estão ligados é de 0,20 m. Determine a altura diferencial entre os níveis de fluido dos dois braços do manômetro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o fluxo de um fluido (provavelmente água) passando por um duto que muda de diâmetro. A gente precisa usar conceitos de hidrodinâmica, especificamente a equação de continuidade e o Princípio de Bernoulli. Vamos precisar entender como a mudança de diâmetro afeta a velocidade e a pressão do fluido, e como um manômetro de água nos ajuda a medir essa diferença de pressão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação de continuidade, que basicamente diz que o produto da área da seção transversal do duto pela velocidade do fluido é constante se não há vazamento. Isso significa que:
Onde:
-
e são as áreas das secções nos diâmetros 6 cm e 4 cm, respectivamente. -
e são as velocidades do fluido nessas secções.
Passo 3
Vamos calcular as áreas das duas seções. A área de um círculo é
, onde
é o raio.
Para o diâmetro de 6 cm:
Para o diâmetro de 4 cm:
Passo 4
Sabemos a vazão
. A vazão também é
, então podemos encontrar as velocidades nas duas seções.
Para a seção 1 (6 cm):
Para a seção 2 (4 cm):
Passo 5
Agora, vamos usar o Princípio de Bernoulli, que relaciona pressão e velocidade do fluido. A equação de Bernoulli simplificada entre os dois pontos é:
Aqui,
é a variação de pressão adquirida no redutor, que é o que o manômetro está medindo.
Passo 6
Rearranjando a equação para encontrar
:
Mas o manômetro mede
em termos de altura de coluna de água
, usando:
Onde:
-
(densidade da água) -
(aceleração da gravidade)
Passo 7
Igualando as duas expressões para
:
Queremos encontrar
, então isolamos:
Passo 8
Precisamos dos valores de pressão. Sabemos que a pressão inicial é 110 kPa, mas precisamos relacionar isso com a pressão no segundo ponto. Como o manômetro está medindo a diferença, e considerando que
é a pressão após a redução, podemos rearranjar:
Mas essa abordagem está complicada. Uma forma mais direta é considerar que a diferença de pressão medida pelo manômetro já nos dá
. Assim, podemos calcular
diretamente usando a equação de Bernoulli rearranjada.
Passo 9
Vamos calcular
usando as velocidades:
Assumindo que a velocidade aumenta após o redutor, a pressão diminui, então:
Passo 10
Agora, usamos o manômetro para relacionar essa pressão à altura da coluna de água:
Resposta
A altura diferencial entre os níveis de fluido dos dois braços do manômetro é de aproximadamente 52,55 metros.