R.
R.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente recebeu:
Esse tipo de equação pertence à matéria de equações diferenciais exatas. O que a gente precisa fazer é verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar uma função
que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Podemos escrever a equação na forma:
Onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Se essas derivadas forem iguais, a equação é exata.
Calculando:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função
tal que:
Primeiro, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende somente de
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Igualando a
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos agora integrar
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração, que podemos incorporar na constante final da solução geral.
Passo 7
Agora, juntando tudo, a função
fica:
Podemos simplificar removendo as barras de valor absoluto, já que estamos lidando com logarithmos naturais e assumindo que
e
são positivos.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.