(1 + 1/x - 1/y) dx + (x/y^2 + 1/y - 1) dy = 0
R. x - y + ln x + ln y - x/y = c

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente recebeu:
Esse tipo de equação pertence à matéria de equações diferenciais exatas. O que a gente precisa fazer é verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Podemos escrever a equação na forma:
Onde:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Se essas derivadas forem iguais, a equação é exata.
Calculando:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função tal que:
Primeiro, vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende somente de .

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Igualando a :
Simplificando:

Passo 6

Vamos agora integrar para encontrar :
Onde é a constante de integração, que podemos incorporar na constante final da solução geral.

Passo 7

Agora, juntando tudo, a função fica:
Podemos simplificar removendo as barras de valor absoluto, já que estamos lidando com logarithmos naturais e assumindo que e são positivos.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados