(1,0 ponto) Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico
no ponto (
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o plano tangente ao paraboloide elíptico
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada parcial e o gradiente, que nos ajudam a encontrar a inclinação da superfície naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. O plano tangente a uma superfície em um ponto é o “melhor” plano que aproxima a superfície naquele ponto. Ele tem a mesma inclinação que a superfície nesse ponto específico.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dão as taxas de variação da função em cada direção.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Essas derivadas nos dizem como a função muda quando movemos um pouquinho nas direções de
e
.
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Esses valores representam as inclinações nas direções de
e
no ponto dado.
Passo 6
Com as derivadas calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar essa equação:
Resposta
O plano tangente ao paraboloide
no ponto
é: