(1,0 ponto) Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico z = 2 x^2 + y^2 no ponto ( 1,1,3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o plano tangente ao paraboloide elíptico no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada parcial e o gradiente, que nos ajudam a encontrar a inclinação da superfície naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. O plano tangente a uma superfície em um ponto é o “melhor” plano que aproxima a superfície naquele ponto. Ele tem a mesma inclinação que a superfície nesse ponto específico.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dão as taxas de variação da função em cada direção.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Essas derivadas nos dizem como a função muda quando movemos um pouquinho nas direções de e .

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Esses valores representam as inclinações nas direções de e no ponto dado.

Passo 6

Com as derivadas calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos simplificar essa equação:

Resposta

O plano tangente ao paraboloide no ponto é:

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