Calcule a integral
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente precisa calcular uma integral de contorno da função
ao redor do círculo com raio 5 no plano complexo. Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que ajuda a calcular integrais assim encontrando os resíduos das funções dentro do contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos da função
. Os polos são os valores de
que fazem o denominador ser zero. Então, igualando o denominador a zero:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os polos são
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esses polos estão dentro do contorno
, que é o círculo de raio 5 centrado na origem.
Calculando o módulo de cada polo:
Como ambos os módulos são menores que 5, os polos
e
estão dentro do contorno.
Passo 4
Vamos calcular os resíduos de
em cada um desses polos. Como são polos simples (de primeira ordem), o resíduo de
em
é dado por:
Para
:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de
:
Para
:
Simplificando multiplicando pelo conjugado de
:
Passo 5
Agora, somamos os resíduos encontrados:
Resposta
A integral vale
.