Calcule a integral 12 pi i ointpartial D(0,5) f(z) d z, onde f(z)=z(z+1)(z+2 i).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente precisa calcular uma integral de contorno da função ao redor do círculo com raio 5 no plano complexo. Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que ajuda a calcular integrais assim encontrando os resíduos das funções dentro do contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos da função (z + 1)(z + 2i) = 0 . Os polos são os valores de z = -1 e z = -2i que fazem o denominador ser zero. Então, igualando o denominador a zero:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os polos são e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esses polos estão dentro do contorno | -1 | = 1 < 5 , que é o círculo de raio 5 centrado na origem.
Calculando o módulo de cada polo:
| -2i | = 2 < 5
Como ambos os módulos são menores que 5, os polos e estão dentro do contorno.

Passo 4

Vamos calcular os resíduos de Res(f, z0) = limz to z0 (z - z0)f(z) em cada um desses polos. Como são polos simples (de primeira ordem), o resíduo de Res(f, -1) = limz to -1 (z + 1)z(z + 1)(z + 2i) = limz to -1 zz + 2i = -1-1 + 2i = -1-1 + 2i em -1-1 + 2i times -1 - 2i-1 - 2i = 1 + 2i1 + 4 = 1 + 2i5 = 15 + 2i5 é dado por:
Res(f, -2i) = limz to -2i (z + 2i)z(z + 1)(z + 2i) = limz to -2i zz + 1 = -2i-2i + 1 = -2i1 - 2i
Para -2i1 - 2i times 1 + 2i1 + 2i = -2i - 4i^21 + 4 = -2i + 45 = 45 - 2i5 :
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de :
Para :
Simplificando multiplicando pelo conjugado de :

Passo 5

Agora, somamos os resíduos encontrados:
Res(f, -1) + Res(f, -2i) = ( 15 + 2i5 ) + ( 45 - 2i5 ) = 1 + 45 + 2i - 2i5 = 55 + 0 = 1

Resposta

A integral vale .

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