Calcule a integral $\frac{1}{2 \pi \mathbf{i}} \oint_{\gamma} f(z) d z$, onde $f(z)=\frac{e^{z}}{z(z+1)(z+2)}$ e $\gamma$ o triangulo com vértices $1 \pm \mathbf{i}$ e -3 , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde e é um triângulo com vértices em e , percorrido no sentido anti-horário.
Conteúdo da matéria: Vamos usar o Teorema dos Resíduos da análise complexa para resolver essa integral.
O que vamos precisar:
  • Identificar os polos de .
  • Verificar quais desses polos estão dentro do contorno .
  • Calcular os resíduos nos polos que estão dentro de .
  • Aplicar o Teorema dos Resíduos para encontrar o valor da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos de . Um polo ocorre onde a função fica sem definição, ou seja, onde o denominador é zero.
Os polos são os valores de que zeram o denominador:
Então, temos três polos simples: , e .

Passo 3

Agora, precisamos determinar quais desses polos estão dentro do contorno , que é um triângulo com vértices em , e .
Vamos visualizar esses pontos no plano complexo:
  • está no quadrante superior direito.
  • está no quadrante inferior direito.
  • está no eixo real, à esquerda.
O triângulo formado por esses vértices cobre uma região que inclui partes do eixo real entre e e se estende um pouco para cima e para baixo devido aos pontos .
Agora, vamos verificar os polos:
  • : Está próximo ao ponto no eixo real, dentro do triângulo.
  • : Também está entre e , dentro do triângulo.
  • : Também entre e , dentro do triângulo.
Então, todos os três polos , e estão dentro do contorno .

Passo 4

Vamos calcular agora os resíduos de em cada um desses polos.
Para um polo simples, o resíduo de em é dado por:
Vamos calcular para cada polo:
  1. Polos em :
  1. Polos em :
  1. Polos em :

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que nos diz que:
onde a soma é feita sobre todos os resíduos dentro do contorno .
Já que queremos calcular:
Substituindo pelo teorema:
Então, basta somar os resíduos que calculamos:

Resposta

A integral vale .

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</body></html>
Usando o cálculo de resíduos, calcular a integral .
Resposta: