Calcule a integral
, onde
e
o triangulo com vértices
e -3 , orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
, onde
e
é um triângulo com vértices em
e
, percorrido no sentido anti-horário.
Conteúdo da matéria: Vamos usar o Teorema dos Resíduos da análise complexa para resolver essa integral.
O que vamos precisar:
- Identificar os polos de
. - Verificar quais desses polos estão dentro do contorno
. - Calcular os resíduos nos polos que estão dentro de
. - Aplicar o Teorema dos Resíduos para encontrar o valor da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos de
. Um polo ocorre onde a função fica sem definição, ou seja, onde o denominador é zero.
Os polos são os valores de
que zeram o denominador:
Então, temos três polos simples:
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar quais desses polos estão dentro do contorno
, que é um triângulo com vértices em
,
e
.
Vamos visualizar esses pontos no plano complexo:
-
está no quadrante superior direito. -
está no quadrante inferior direito. -
está no eixo real, à esquerda.
O triângulo formado por esses vértices cobre uma região que inclui partes do eixo real entre
e
e se estende um pouco para cima e para baixo devido aos pontos
.
Agora, vamos verificar os polos:
-
: Está próximo ao ponto no eixo real, dentro do triângulo. -
: Também está entre e , dentro do triângulo. -
: Também entre e , dentro do triângulo.
Então, todos os três polos
,
e
estão dentro do contorno
.
Passo 4
Vamos calcular agora os resíduos de
em cada um desses polos.
Para um polo simples, o resíduo de
em
é dado por:
Vamos calcular para cada polo:
- Polos em
:
- Polos em
:
- Polos em
:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que nos diz que:
onde a soma é feita sobre todos os resíduos dentro do contorno
.
Já que queremos calcular:
Substituindo pelo teorema:
Então, basta somar os resíduos que calculamos:
Resposta
A integral vale
.