Calcule a integral 12 pi i ointgamma f(z) d z, onde f(z)=e^zz(z+1)(z+2) e gamma o triangulo com vértices 1 pm i e -3 , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde e é um triângulo com vértices em e , percorrido no sentido anti-horário.
Conteúdo da matéria: Vamos usar o Teorema dos Resíduos da análise complexa para resolver essa integral.
O que vamos precisar:
  • Identificar os polos de .
  • Verificar quais desses polos estão dentro do contorno .
  • Calcular os resíduos nos polos que estão dentro de .
  • Aplicar o Teorema dos Resíduos para encontrar o valor da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos de f(z) = e^zz(z+1)(z+2) . Um polo ocorre onde a função fica sem definição, ou seja, onde o denominador é zero.
Os polos são os valores de que zeram o denominador:
Então, temos três polos simples: , e .

Passo 3

Agora, precisamos determinar quais desses polos estão dentro do contorno , que é um triângulo com vértices em , e .
Vamos visualizar esses pontos no plano complexo:
  • está no quadrante superior direito.
  • está no quadrante inferior direito.
  • está no eixo real, à esquerda.
O triângulo formado por esses vértices cobre uma região que inclui partes do eixo real entre e e se estende um pouco para cima e para baixo devido aos pontos .
Agora, vamos verificar os polos:
  • : Está próximo ao ponto no eixo real, dentro do triângulo.
  • : Também está entre e , dentro do triângulo.
  • : Também entre e , dentro do triângulo.
Então, todos os três polos , e estão dentro do contorno .

Passo 4

Vamos calcular agora os resíduos de Res(f, z0) = limz to z0 (z - z0) f(z) em cada um desses polos.
Para um polo simples, o resíduo de Res(f, 0) = limz to 0 z cdot e^zz(z+1)(z+2) = limz to 0 e^z(z+1)(z+2) = e^0(0+1)(0+2) = 12 em Res(f, -1) = limz to -1 (z + 1) cdot e^zz(z+1)(z+2) = limz to -1 e^zz(z+2) = e^-1(-1)(-1 + 2) = e^-1(-1)(1) = -e^-1 é dado por:
Res(f, -2) = limz to -2 (z + 2) cdot e^zz(z+1)(z+2) = limz to -2 e^zz(z+1) = e^-2(-2)(-2 + 1) = e^-2(-2)(-1) = e^-22
Vamos calcular para cada polo:
  1. Polos em :
  1. Polos em :
  1. Polos em :

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que nos diz que:
ointgamma f(z) , dz = 2 pi i sum Res(f, zk)
onde a soma é feita sobre todos os resíduos dentro do contorno 12 pi i ointgamma f(z) , dz .
Já que queremos calcular:
12 pi i cdot 2 pi i sum Res(f, zk) = sum Res(f, zk)
Substituindo pelo teorema:
sum Res(f, zk) = 12 + (-e^-1) + e^-22
Então, basta somar os resíduos que calculamos:

Resposta

A integral vale .

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