y^2 dy + y dx - x dy = 0
R. x + y^2 = c y

Passo 1

Entendendo o Enunciado:
A gente tem a seguinte equação diferencial:
Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar a relação entre e . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e métodos de integração. Vamos resolver passo a passo para entender bem como chegar na solução final.

Passo 2

Rearranjando a Equação:
Primeiro, vamos organizar a equação de uma forma que facilite a resolução. Vamos colocar todos os termos envolvendo e juntos:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 3

Identificando os Componentes da Equação Diferencial:
Vamos considerar a equação na forma padrão de uma equação diferencial:
Aqui, temos:

Passo 4

Verificando se a Equação é Exata:
Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a :
Calculando:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante para tornar a equação exata.

Passo 5

Encontrando um Fator Integrante:
Vamos buscar um fator integrante que dependa apenas de . A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo os valores:
No entanto, essa integral não é direta e podemos tentar uma abordagem diferente.

Passo 6

Rearranjando para uma Equação Linear:
Vamos reescrever a equação para isolarmos :
A equação original rearranjada está em termos de e :
Dividindo ambos os lados por :
Isolando :
Isso nos dá uma equação diferencial linear na forma:
Onde:

Passo 7

Calculando o Fator Integrante para a Equação Linear:
Para resolver uma equação diferencial linear, usamos o fator integrante :

Passo 8

Multiplicando a Equação pelo Fator Integrante:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso transforma a equação em:

Passo 9

Integrando Ambos os Lados:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Encontrando a Solução Geral:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :
Rearranjando os termos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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