R.
R.
Passo 1
Entendendo o Enunciado:
A gente tem a seguinte equação diferencial:
Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar a relação entre
e
. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e métodos de integração. Vamos resolver passo a passo para entender bem como chegar na solução final.
Passo 2
Rearranjando a Equação:
Primeiro, vamos organizar a equação de uma forma que facilite a resolução. Vamos colocar todos os termos envolvendo
e
juntos:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 3
Identificando os Componentes da Equação Diferencial:
Vamos considerar a equação na forma padrão de uma equação diferencial:
Aqui, temos:
Passo 4
Verificando se a Equação é Exata:
Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
:
Calculando:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante para tornar a equação exata.
Passo 5
Encontrando um Fator Integrante:
Vamos buscar um fator integrante que dependa apenas de
. A fórmula para o fator integrante
é:
Substituindo os valores:
No entanto, essa integral não é direta e podemos tentar uma abordagem diferente.
Passo 6
Rearranjando para uma Equação Linear:
Vamos reescrever a equação para isolarmos
:
A equação original rearranjada está em termos de
e
:
Dividindo ambos os lados por
:
Isolando
:
Isso nos dá uma equação diferencial linear na forma:
Onde:
Passo 7
Calculando o Fator Integrante para a Equação Linear:
Para resolver uma equação diferencial linear, usamos o fator integrante
:
Passo 8
Multiplicando a Equação pelo Fator Integrante:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso transforma a equação em:
Passo 9
Integrando Ambos os Lados:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Encontrando a Solução Geral:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Rearranjando os termos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.