a) r:lx=1+2 t1 y=-1+t1 z=5-3 t1 s:cx=4 t2 y=2+2 t2 z=8-6 t2
b) r:lx=1+2 t1 y=-1+t1 z=5-3 t1 s: cx=9+6 t2 y=3+3 t2 z=-7-9 t2
c) r:cx=2+t1 y=-1-3 t1 z=1+2 t1 s: cx=-5+4 t2 y=6-5 t2 z=4+3 t2
d) r:cx=-1+2 t1 y=-t1 z=2-t1 s: cx=2+t2 y=-3+t2 z=2-2 t2
e) r:cx=2-t y=3 t z=1-2 t s:cy=-3 x z=2 x
f) r:cx=1-2 y z=2-y s: cx=-1+2 t y=3-2 t z=2 t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos duas retas no espaço, chamadas de e , definidas por suas equações paramétricas. O conteúdo envolvido aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de retas no espaço tridimensional. Para resolver essa questão, vamos precisar verificar se essas duas retas se intersectam, são paralelas ou são retas que não se encontram nem são paralelas (chamadas de retas seccionais ou “skew”).

Passo 2

Vamos começar escrevendo as equações paramétricas das retas x = 1 + 2t1 y = -1 + t1 z = 5 - 3t1 e x = 4t2 y = 2 + 2t2 z = 8 - 6t2 :
Para a reta :
Para a reta :
Onde e são parâmetros que variam ao longo das retas.

Passo 3

Para verificar se as retas 1 + 2t1 = 4t2 (equação 1) e -1 + t1 = 2 + 2t2 (equação 2) se intersectam, precisamos encontrar valores de 5 - 3t1 = 8 - 6t2 (equação 3) e que satisfaçam simultaneamente as equações das duas retas. Ou seja, precisamos encontrar e tais que:
çã
çã
çã

Passo 4

Vamos resolver as equações passo a passo. Começaremos com a equação 2 para expressar -1 + t1 = 2 + 2t2 t1 = 3 + 2t2 (equação 4) em função de 1 + 2(3 + 2t2) = 4t2 1 + 6 + 4t2 = 4t2 7 + 4t2 = 4t2 :
7 = 0 çã
Agora, substituímos a equação 4 na equação 1:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso é uma contradição, o que indica que não há valores de e que satisfaçam simultaneamente as equações 1 e 2.

Passo 5

Como não encontramos uma solução consistente para e , isso significa que as retas e não se intersectam. Além disso, ao observarmos os coeficientes diretores das retas:
Para :
Para :
Podemos notar que , o que indica que as retas são paralelas.

Resposta

As retas e são paralelas e não se intersectam.

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