Use o método do determinante (Cramer) para resolver os sistemas de equações: l2 y+z=3(-x+1) x-3 y+z=4 -2(3 x+2 y+z)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Cramer, que envolve determinantes. Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos o seguinte sistema:
2y + z = 3(-x + 1) x - 3y + z = 4 -2(3x + 2y + z) = 1
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas essas equações. Para isso, vamos precisar reorganizar as equações para a forma padrão e então aplicar o método de Cramer utilizando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação para a forma padrão:
  1. Primeira Equação:
    2y + z = 3(-x + 1) Rightarrow 2y + z = -3x + 3 Rightarrow 3x + 2y + z = 3
  2. Segunda Equação:
    x - 3y + z = 4 (já está na forma padrão) ááã
  3. Terceira Equação:
    -2(3x + 2y + z) = 1 Rightarrow -6x -4y -2z = 1 Rightarrow 6x + 4y + 2z = -1
Agora, nosso sistema fica:
3x + 2y + z = 3 x - 3y + z = 4 6x + 4y + 2z = -1

Passo 3

Vamos montar a matriz dos coeficientes e os determinantes necessários para aplicar a regra de Cramer. A regra de Cramer diz que, para um sistema de três equações, as soluções D = 3 & 2 & 1 1 & -3 & 1 6 & 4 & 2 , e podem ser encontradas pela razão dos determinantes.
Primeiro, identificamos a matriz dos coeficientes :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante D = 3 cdot (-3 cdot 2 - 1 cdot 4) - 2 cdot (1 cdot 2 - 1 cdot 6) + 1 cdot (1 cdot 4 - (-3) cdot 6) :
D = 3 cdot (-6 - 4) - 2 cdot (2 - 6) + 1 cdot (4 + 18)
D = 3 cdot (-10) - 2 cdot (-4) + 1 cdot 22
D = -30 + 8 + 22 = 0

Passo 5

Percebemos que . Quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero, isso indica que o sistema pode ser indeterminado (infinitely many solutions) ou impossível (sem solução). Para determinar qual dos casos é, precisamos verificar os determinantes das matrizes formadas substituindo a coluna correspondente a cada variável.

Passo 6

Primeiro, calculamos Dx = 3 & 2 & 1 4 & -3 & 1 -1 & 4 & 2 , substituindo a coluna de Dx = 3 cdot (-3 cdot 2 - 1 cdot 4) - 2 cdot (4 cdot 2 - 1 cdot -1) + 1 cdot (4 cdot 4 - (-3) cdot -1) pelos termos constantes:
Dx = 3 cdot (-6 - 4) - 2 cdot (8 + 1) + 1 cdot (16 - 3)
Calculando:
Dx = 3 cdot (-10) - 2 cdot 9 + 1 cdot 13
Dx = -30 - 18 + 13 = -35

Passo 7

Como e , isso indica que o sistema é impossível, ou seja, não há nenhuma solução que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

O sistema de equações não possui solução; é um sistema impossível.

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