Prove que
.
Passo 1
Beleza! A gente precisa provar que
é igual a
. Isso envolve produtos vetoriais e o produto escalar, que fazem parte da álgebra vetorial. Vamos usar algumas propriedades desses produtos para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial
resulta num vetor que é perpendicular tanto a
quanto a
. Esse vetor perpendicular é útil para calcular volumes e áreas em espaços tridimensionais.
Passo 3
O produto escalar
calcula o volume do paralelepípedo formado pelos vetores
,
e
. Esse valor também é conhecido como produto misto.
Passo 4
Agora, existe uma propriedade chamada ciclicidade do produto misto, que diz que o produto misto não muda se a ordem dos vetores for girada ciclicamente. Ou seja:
Passo 5
Aplicando essa propriedade ao nosso caso específico, temos:
Resposta
Portanto, foi comprovado que
.