Prove que u cdot(v times w)=w cdot(u times v).

Passo 1

Beleza! A gente precisa provar que u cdot (v times w) é igual a w cdot (u times v). Isso envolve produtos vetoriais e o produto escalar, que fazem parte da álgebra vetorial. Vamos usar algumas propriedades desses produtos para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial v times w resulta num vetor que é perpendicular tanto a v quanto a w. Esse vetor perpendicular é útil para calcular volumes e áreas em espaços tridimensionais.

Passo 3

O produto escalar u cdot (v times w) calcula o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u, v e w. Esse valor também é conhecido como produto misto.

Passo 4

Agora, existe uma propriedade chamada ciclicidade do produto misto, que diz que o produto misto não muda se a ordem dos vetores for girada ciclicamente. Ou seja:
u cdot (v times w) = v cdot (w times u) = w cdot (u times v)

Passo 5

Aplicando essa propriedade ao nosso caso específico, temos:
u cdot (v times w) = w cdot (u times v)

Resposta

Portanto, foi comprovado que u cdot (v times w) = w cdot (u times v).

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