Seja a sequência de. Mostre que lim n 0 integral-infty^infty de.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de funções definida por:
de
A tarefa é mostrar que, quando se aproxima de 0, o valor da integral dessa função de a é igual a 1. Vamos precisar de conhecimentos sobre integrais e limites, especialmente envolvendo funções que se aproximam de uma função delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é uma versão escalada da função . À medida que muda, a forma dessa função também muda. Para resolver o problema, precisamos calcular a integral de e depois ver o que acontece com esse valor quando tende a 0.

Passo 3

Vamos começar calculando a integral de integral-infty^infty de de integral-infty^infty npi ( 11 + n^2x^2 ) dx = npi integral-infty^infty 11 + u^2 cdot dun = 1pi integral-infty^infty 11 + u^2 du a :
Podemos simplificar essa integral usando uma substituição. Seja , então ou . Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, a integral 1pi cdot pi = 1 é uma integral conhecida que resulta em integral-infty^infty de. Portanto:
Isso significa que:

Passo 5

Notamos que essa integral resultou em 1 independentemente do valor de . Portanto, quando tende a 0, o valor da integral permanece 1.

Resposta

limn 0 integral-infty^infty de

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