Seja a sequência
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de funções definida por:
A tarefa é mostrar que, quando
se aproxima de 0, o valor da integral dessa função de
a
é igual a 1. Vamos precisar de conhecimentos sobre integrais e limites, especialmente envolvendo funções que se aproximam de uma função delta de Dirac.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é uma versão escalada da função
. À medida que
muda, a forma dessa função também muda. Para resolver o problema, precisamos calcular a integral de
e depois ver o que acontece com esse valor quando
tende a 0.
Passo 3
Vamos começar calculando a integral de
de
a
:
Podemos simplificar essa integral usando uma substituição. Seja
, então
ou
. Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, a integral
é uma integral conhecida que resulta em
. Portanto:
Isso significa que:
Passo 5
Notamos que essa integral resultou em 1 independentemente do valor de
. Portanto, quando
tende a 0, o valor da integral permanece 1.