Faça a demostração das propriedades: A cdot(B times C)=A cdot B+A cdot C

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos demonstrar que o produto escalar de um vetor A com o produto vetorial de B e C é igual à soma dos produtos escalares de A com B e de A com C. Para isso, vamos precisar entender o que são produto escalar e produto vetorial, além de usar as propriedades deles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores B e C, representado por B times C, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor é dada por:
|B times C| = |B| cdot |C| cdot sin(theta)
onde theta é o ângulo entre B e C.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o produto escalar. O produto escalar de dois vetores, por exemplo, A cdot B, é um número que resulta da multiplicação das magnitudes dos vetores pelos cossenos do ângulo entre eles:
A cdot B = |A| cdot |B| cdot cos(phi)
onde phi é o ângulo entre A e B.

Passo 4

Vamos analisar o lado esquerdo da equação que queremos demonstrar:
A cdot (B times C)
Este é o produto escalar de A com o produto vetorial de B e C. Esta expressão é conhecida como produto misto e tem uma interpretação geométrica relacionada ao volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 5

Agora, vamos analisar o lado direito da equação:
A cdot B + A cdot C
Aqui, estamos somando dois produtos escalares: o de A com B e o de A com C. Cada um desses produtos escalares representa quanto de um vetor está na direção do outro.

Passo 6

Para verificar se a propriedade é verdadeira, vamos considerar um exemplo específico. Suponha que:
A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1)
Vamos calcular ambos os lados da equação.

Passo 7

Calculando o lado esquerdo:
B times C = (1, 0, 0)
A cdot (B times C) = (1, 0, 0) cdot (1, 0, 0) = 1

Passo 8

Calculando o lado direito:
A cdot B = (1, 0, 0) cdot (0, 1, 0) = 0
A cdot C = (1, 0, 0) cdot (0, 0, 1) = 0
A cdot B + A cdot C = 0 + 0 = 0

Passo 9

Comparando os resultados:
A cdot (B times C) = 1 neq 0 = A cdot B + A cdot C
Portanto, a propriedade proposta não é verdadeira.

Resposta

A propriedade A cdot(B times C)=A cdot B+A cdot C não é válida.

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