Faça a demostração das propriedades:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos demonstrar que o produto escalar de um vetor
com o produto vetorial de
e
é igual à soma dos produtos escalares de
com
e de
com
. Para isso, vamos precisar entender o que são produto escalar e produto vetorial, além de usar as propriedades deles.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores
e
, representado por
, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor é dada por:
onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o produto escalar. O produto escalar de dois vetores, por exemplo,
, é um número que resulta da multiplicação das magnitudes dos vetores pelos cossenos do ângulo entre eles:
onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 4
Vamos analisar o lado esquerdo da equação que queremos demonstrar:
Este é o produto escalar de
com o produto vetorial de
e
. Esta expressão é conhecida como produto misto e tem uma interpretação geométrica relacionada ao volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.
Passo 5
Agora, vamos analisar o lado direito da equação:
Aqui, estamos somando dois produtos escalares: o de
com
e o de
com
. Cada um desses produtos escalares representa quanto de um vetor está na direção do outro.
Passo 6
Para verificar se a propriedade é verdadeira, vamos considerar um exemplo específico. Suponha que:
Vamos calcular ambos os lados da equação.
Passo 7
Calculando o lado esquerdo:
Passo 8
Calculando o lado direito:
Passo 9
Comparando os resultados:
Portanto, a propriedade proposta não é verdadeira.
Resposta
A propriedade
não é válida.