12.51 Dada
. Localize todos os máximos e minimos relativos e os pontos de sela, se houver.
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisa encontrar todos os pontos onde ela tem máximos relativos, mínimos relativos e pontos de sela. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais ajudam a encontrar os pontos críticos da função, que são candidatos a máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 3
Agora, vamos achar os pontos críticos resolvendo o sistema onde as derivadas parciais são iguais a zero:
Simplificando a equação (1):
Passo 4
Substituindo
na equação (2):
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
Passo 5
Resolvendo
:
Então, temos dois valores de
:
e
.
Passo 6
Vamos encontrar os correspondentes valores de
:
Para
:
Então, o ponto crítico é
.
Para
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 7
Agora que temos os pontos críticos
e
, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza desses pontos.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Passo 8
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para
:
Como
,
é um ponto de sela.
Para
:
Como
e
,
é um ponto de mínimo relativo.
Resposta
A função
tem um ponto de sela em
e um ponto de mínimo relativo em
.