12.51 Dada . Localize todos os máximos e minimos relativos e os pontos de sela, se houver.

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisa encontrar todos os pontos onde ela tem máximos relativos, mínimos relativos e pontos de sela. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais ajudam a encontrar os pontos críticos da função, que são candidatos a máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos críticos resolvendo o sistema onde as derivadas parciais são iguais a zero:
Simplificando a equação (1):

Passo 4

Substituindo na equação (2):
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:

Passo 5

Resolvendo :
Então, temos dois valores de : e .

Passo 6

Vamos encontrar os correspondentes valores de :
Para :
Então, o ponto crítico é .
Para :
Então, o ponto crítico é .

Passo 7

Agora que temos os pontos críticos e , vamos usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza desses pontos.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:

Passo 8

O discriminante é dado por:
Vamos calcular para cada ponto crítico.
Para :
Como , é um ponto de sela.
Para :
Como e , é um ponto de mínimo relativo.

Resposta

A função tem um ponto de sela em e um ponto de mínimo relativo em .

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas das funções abaixo:
(1.5) Use a fórmula para obter , sabendo que
Determine, se possível, as constantes a e de modo que seja contínua em .
(a)
(b)
Ache a seguinte integral
onde . De um exemplo para ver como se aplica o método.