12.51 Dada . Localize todos os máximos e minimos relativos e os pontos de sela, se houver.
Passo 1
Então, a gente tem a função e precisa encontrar todos os pontos onde ela tem máximos relativos, mínimos relativos e pontos de sela. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais ajudam a encontrar os pontos críticos da função, que são candidatos a máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 3
Agora, vamos achar os pontos críticos resolvendo o sistema onde as derivadas parciais são iguais a zero:
Simplificando a equação (1):
Passo 4
Substituindo na equação (2):
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
Passo 5
Resolvendo :
Então, temos dois valores de : e .
Passo 6
Vamos encontrar os correspondentes valores de :
Para :
Então, o ponto crítico é .
Para :
Então, o ponto crítico é .
Passo 7
Agora que temos os pontos críticos e , vamos usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza desses pontos.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Passo 8
O discriminante é dado por:
Vamos calcular para cada ponto crítico.
Para :
Como , é um ponto de sela.
Para :
Como e , é um ponto de mínimo relativo.
Resposta
A função tem um ponto de sela em e um ponto de mínimo relativo em .