Calcule as derivadas das funções abaixo: h(t) = (e^(t^2) cos(t), ln(t sen(t)))

Passo 1

Vamos entender o problema. Temos a função vetorial:
Precisamos calcular a derivada dessa função, ou seja, . Para isso, vamos derivar cada componente de h(t) separadamente. Vamos usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a primeira componente: .
Aqui, temos o produto de duas funções:
Para derivar esse produto, usamos a regra do produto:
Vamos calcular e :
  • Derivada de :
    • Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então:
  • Derivada de :
    • Sabemos que a derivada de é .
Aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda componente: .
Aqui, temos uma função logarítmica composta com um produto:
  • Função interna:
Para derivar , usamos a regra da cadeia:
Primeiro, vamos derivar usando a regra do produto:
Agora, substituindo na derivada da função logarítmica:

Resposta

A derivada da função h(t) é:

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