(1.5) Use a fórmula B(t)=T(t) x N(t) para obter B(t), sabendo que r(t)=(sen t-t cos t) imath+(cos t+t sen t) jmath+k ; T(t)=r^prime(t)|r^prime(t)| e N(t)=r^prime(t)|T^prime(t)|

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva dada pela função vetorial:
r(t) = (sin t - t cos t) , imath + (cos t + t sin t) , jmath + k
Queremos encontrar o vetor binormal B(t) = T(t) times N(t) usando a fórmula:
Onde é o vetor tangente unitário e é o vetor normal unitário. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da posição, normalizar os vetores, e finalmente fazer o produto vetorial.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da posição r,'(t) = ddt [(sin t - t cos t) , imath + (cos t + t sin t) , jmath + k] em relação a r,'(t) = (cos t - cos t + t sin t) , imath + (-sin t + sin t + t cos t) , jmath + 0 , k :
r,'(t) = t sin t , imath + t cos t , jmath
Calculando termo a termo:
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor tangente unitário T(t) = r,'(t)|r,'(t)| . Para isso, normalizamos |r,'(t)| = raiz(t sin t)^2 + (t cos t)^2 = raizt^2 (sin^2 t + cos^2 t) = raizt^2 = t :
T(t) = t sin t , imath + t cos t , jmatht = sin t , imath + cos t , jmath
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada de T,'(t) = ddt [sin t , imath + cos t , jmath] = cos t , imath - sin t , jmath para encontrar :

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor normal unitário N(t) = T,'(t)|T,'(t)| normalizando |T,'(t)| = raiz(cos t)^2 + (-sin t)^2 = raizcos^2 t + sin^2 t = 1 :
N(t) = T,'(t) = cos t , imath - sin t , jmath
Calculando a magnitude de :
Então:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o vetor binormal B(t) = T(t) times N(t) usando o produto vetorial entre B(t) = (sin t , imath + cos t , jmath) times (cos t , imath - sin t , jmath) e B(t) = sin t cdot (-sin t) , (imath times jmath) + cos t cdot cos t , (jmath times imath) :
B(t) = -sin^2 t , k - cos^2 t , k = -(sin^2 t + cos^2 t) , k = -k
Substituindo os valores encontrados:
Calculando o produto vetorial:
Sabendo que e :

Resposta

O vetor binormal é:
B(t) = -k

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