Ache a seguinte integral
onde
. De um exemplo para ver como se aplica o método.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema é calcular a integral
onde
são números racionais. Vamos usar o método de substituição para facilitar a resolução. Para isso, precisamos identificar uma parte da função que, quando substituída, simplifica a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que transforme a integral em algo mais fácil de resolver. Aqui, uma boa escolha é deixar
. Isso porque a expressão
está elevada a uma potência
, e sua derivada aparecerá ao calcular
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Temos:
Isso nos dá uma relação entre
e
, o que é útil para substituir na integral original.
Passo 4
Vamos agora rearranjar a expressão para
e expressar
em termos de
e
. Da equação de
:
Substituindo isso na integral original:
Passo 5
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Da nossa substituição
, podemos isolar
:
Então,
Substituindo isso na integral:
Passo 6
Agora, a integral está toda em termos de
, então podemos integrá-la normalmente. Dependendo dos valores de
, isso pode resultar em uma expressão que envolve
elevada a uma certa potência. Após integrar, substituímos
de volta por
para obter a resposta em termos de
.
Passo 7
Vamos ver isso na prática com um exemplo para clarear as ideias!
Exemplo: Calcular a integral
Resolução:
- Escolhemos
. - Calculamos
. - Substituímos na integral:
- Integramos:
- Substituímos
de volta:
Resposta
A integral calculada é