Ache a seguinte integral
I=integral x^p(a+b x^q)^r d x
onde p, q, r in Q. De um exemplo para ver como se aplica o método.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema é calcular a integral
I = integral x^p(a + b x^q)^r dx
onde são números racionais. Vamos usar o método de substituição para facilitar a resolução. Para isso, precisamos identificar uma parte da função que, quando substituída, simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que transforme a integral em algo mais fácil de resolver. Aqui, uma boa escolha é deixar . Isso porque a expressão está elevada a uma potência , e sua derivada aparecerá ao calcular .

Passo 3

Agora, vamos derivar u = a + b x^q du = b q x^q - 1 dx em relação a para encontrar . Temos:
Isso nos dá uma relação entre e , o que é útil para substituir na integral original.

Passo 4

Vamos agora rearranjar a expressão para du = b q x^q - 1 dx dx = dub q x^q - 1 e expressar I = integral x^p u^r cdot dub q x^q - 1 = 1b q integral x^p - q + 1 u^r du em termos de e . Da equação de :
Substituindo isso na integral original:

Passo 5

Agora, precisamos expressar x^q = u - ab x = ( u - ab )^1/q em termos de x^p - q + 1 = ( u - ab )^(p - q + 1)/q . Da nossa substituição I = 1b q integral ( u - ab )^(p - q + 1)/q u^r du , podemos isolar :
Então,
Substituindo isso na integral:

Passo 6

Agora, a integral está toda em termos de , então podemos integrá-la normalmente. Dependendo dos valores de , isso pode resultar em uma expressão que envolve elevada a uma certa potência. Após integrar, substituímos de volta por para obter a resposta em termos de .

Passo 7

Vamos ver isso na prática com um exemplo para clarear as ideias!
Exemplo: Calcular a integral
I = integral x^2(3 + 2 x^3)^4 dx
Resolução:
  1. Escolhemos I = integral x^2 cdot (3 + 2x^3)^4 dx = integral u^4 cdot du6 = 16 integral u^4 du .
  2. Calculamos 16 cdot u^55 + C = u^530 + C I = (3 + 2x^3)^530 + C .
  3. Substituímos na integral:
  1. Integramos:
  1. Substituímos de volta:

Resposta

A integral calculada é
I = (3 + 2x^3)^530 + C

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