Ache a seguinte integral
onde . De um exemplo para ver como se aplica o método.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema é calcular a integral
onde são números racionais. Vamos usar o método de substituição para facilitar a resolução. Para isso, precisamos identificar uma parte da função que, quando substituída, simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que transforme a integral em algo mais fácil de resolver. Aqui, uma boa escolha é deixar . Isso porque a expressão está elevada a uma potência , e sua derivada aparecerá ao calcular .

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar . Temos:
Isso nos dá uma relação entre e , o que é útil para substituir na integral original.

Passo 4

Vamos agora rearranjar a expressão para e expressar em termos de e . Da equação de :
Substituindo isso na integral original:

Passo 5

Agora, precisamos expressar em termos de . Da nossa substituição , podemos isolar :
Então,
Substituindo isso na integral:

Passo 6

Agora, a integral está toda em termos de , então podemos integrá-la normalmente. Dependendo dos valores de , isso pode resultar em uma expressão que envolve elevada a uma certa potência. Após integrar, substituímos de volta por para obter a resposta em termos de .

Passo 7

Vamos ver isso na prática com um exemplo para clarear as ideias!
Exemplo: Calcular a integral
Resolução:
  1. Escolhemos .
  2. Calculamos .
  3. Substituímos na integral:
  1. Integramos:
  1. Substituímos de volta:

Resposta

A integral calculada é

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©
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