Determine, se possível, as constantes a e b em R de modo que f seja contínua em x_0.
(a) f(x) = { b*x^2 + 2, x != 1 ; b^2, x = 1 } (x0 = 1)
(b) f(x) = { 3x - 3, x > -3; ax, x = -3; bx^2 + 1, x < -3 } (x0 = -3)

Passo 1

Vamos resolver a parte (a) do exercício. Temos a função definida por:
Queremos encontrar o valor de que torna contínua em . Para isso, precisamos garantir que o limite de quando se aproxima de 1 seja igual ao valor de .

Passo 2

Primeiro, calculamos o limite de quando se aproxima de 1. Como para , a função é , o limite será:

Passo 3

Sabemos que para a função ser contínua em , o limite deve ser igual a . Dado que , temos a equação:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática:
Podemos fatorar a equação:

Passo 5

As soluções da equação são:

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte (b) do exercício. Temos a função definida por:
Queremos encontrar os valores de e que tornam contínua em . Para isso, precisamos garantir que os limites de quando se aproxima de -3 pela esquerda e pela direita sejam iguais ao valor de .

Passo 7

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de -3 pela direita ( ):

Passo 8

Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de -3 pela esquerda ( ):

Passo 9

Para a função ser contínua em , os dois limites devem ser iguais e também devem ser iguais ao valor de . Sabemos que . Então, temos:

Passo 10

Resolvendo a primeira equação para :
Resolvendo a segunda equação para :

Resposta

Os valores que tornam contínua em são e .

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