Determine, se possível, as constantes a e de modo que seja contínua em .
(a)
(b)
Passo 1
Vamos resolver a parte (a) do exercício. Temos a função definida por:
Queremos encontrar o valor de que torna contínua em . Para isso, precisamos garantir que o limite de quando se aproxima de 1 seja igual ao valor de .
Passo 2
Primeiro, calculamos o limite de quando se aproxima de 1. Como para , a função é , o limite será:
Passo 3
Sabemos que para a função ser contínua em , o limite deve ser igual a . Dado que , temos a equação:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática:
Podemos fatorar a equação:
Passo 5
As soluções da equação são:
Passo 6
Agora, vamos resolver a parte (b) do exercício. Temos a função definida por:
Queremos encontrar os valores de e que tornam contínua em . Para isso, precisamos garantir que os limites de quando se aproxima de -3 pela esquerda e pela direita sejam iguais ao valor de .
Passo 7
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de -3 pela direita ():
Passo 8
Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de -3 pela esquerda ():
Passo 9
Para a função ser contínua em , os dois limites devem ser iguais e também devem ser iguais ao valor de . Sabemos que . Então, temos: