Quando
foram adicionados como calor a
de um certo gás ideal, o volume do gás variou de
para
, enquanto a pressão permaneceu em
. Este gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um gás ideal que recebeu uma quantidade de calor, fazendo seu volume aumentar enquanto a pressão permanecia constante. A gente precisa descobrir se esse gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente a primeira lei da termodinâmica e a relação entre capacidade calorífica e os graus de liberdade das moléculas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Calor adicionado, $ Q = 12,63 , J $
- Quantidade de gás, $ n = 0,2 , mol $
- Volume inicial, $ V_i = 50 , cm^3 $
- Volume final, $ V_f = 100 , cm^3 $
- Pressão constante, $ P = 1,0 , atm $
Passo 3
Vamos começar calculando o trabalho realizado pelo gás durante a expansão. Como a pressão é constante, o trabalho $ W $ é dado por:
Onde $ \Delta V = V_f - V_i $. Precisamos converter os volumes de centímetros cúbicos para metros cúbicos para manter as unidades consistentes:
Passo 4
Agora, vamos converter a pressão de atm para pascal (Pa), já que $ 1 , atm = 101325 , Pa $:
Então, o trabalho realizado é:
Passo 5
A próxima etapa é usar a primeira lei da termodinâmica, que nos diz que:
Onde $ \Delta U $ é a variação da energia interna do gás. Rearranjando a equação:
Passo 6
Para um gás ideal, a variação da energia interna está relacionada à capacidade calorífica molar a volume constante $ C_v $:
Como a pressão é constante, podemos também relacionar a variação de volume com a variação de temperatura usando a equação dos gases ideais:
Então, a variação de temperatura $ \Delta T $ pode ser encontrada a partir de:
Mas para simplificar, podemos usar a relação $ \Delta U = n C_v \Delta T $ diretamente, já que queremos encontrar $ C_v $.
Passo 7
Vamos isolar $ C_v $:
Mas precisamos encontrar $ \Delta T $. Usando a equação dos gases ideais rearranjada:
Onde $ R = 8,314 , J/(mol·K) $.
Passo 8
Calculando $ \Delta T $:
Passo 9
Agora, podemos calcular $ C_v $:
Passo 10
Sabemos que para gases ideais, a capacidade calorífica molar a volume constante $ C_v $ está relacionada aos graus de liberdade $ f $ pelas seguintes equações:
- Monoatômico: $ C_v = \frac{3}{2} R \approx 12,47 , J/(mol·K) $
- Diatômico: $ C_v = \frac{5}{2} R \approx 20,785 , J/(mol·K) $
- Poliatômico: $ C_v $ seria ainda maior.
Passo 11
Comparando o valor que encontramos ($ C_v \approx 12,4 , J/(mol·K) $) com os valores teóricos:
- Está muito próximo de $ \frac{3}{2} R $, que é característico de gases monoatômicos.
Resposta
O gás é monoatômico.